Analisi complessa/Campi e spazi vettoriali

Campo

Si dice campo un insieme $𝔼$ sul quale siano definite le due operazioni algebriche fondamentali di addizione e moltiplicazione e le relative proprietà formali, se $x,y,z\in 𝔼$ allora:

per l'addizione

1. $x+y\in 𝔼$ (chiusura rispetto all'addizione)
2. $x+y=y+x$ (proprietà commutativa)
3. $(x+y)+z=x+(y+z)$ (proprietà associativa)
4. $\mathrm{\exists }0\in 𝔼:\mathrm{\forall }x\in 𝔼:x+0=x$ (elemento neutro rispetto all'addizione)
5. $\mathrm{\forall }x\in 𝔼\mathrm{\exists }-x\in 𝔼:x+(-x)=0$ (elemento opposto)

per la moltiplicazione

1. $x\cdot y\in 𝔼$ (chiusura rispetto alla moltiplicazione)
2. $x\cdot y=y\cdot x$ (proprietà commutativa rispetto alla moltiplicazione)
3. $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ (proprietà associativa rispetto alla moltiplicazione)
4. $\mathrm{\exists }1\in 𝔼:\mathrm{\forall }x\in 𝔼1\cdot x=x$ (elemento neutro rispetto alla moltiplicazione)
5. $\mathrm{\forall }x\in 𝔼\setminus \{0\}\mathrm{\exists }1/x\in E:x\cdot (1/x)=1$ (elemento inverso rispetto alla moltiplicazione)
6. $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ (proprietà distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione)

Esempi:Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi, $ℝ$ e $ℂ$ sono due esempi molto importanti di campi.

Spazio vettoriale

Definizione

Si dice spazio vettoriale rispetto ad un campo $𝔼$ un insieme $V$ sul quale siano definite le operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, che godono delle seguenti proprieta':

Proprietà

siano $𝐱,𝐲,𝐳\in V$ e $\alpha ,\beta \in 𝔼$

allora

1. $𝐱+𝐲\in V$
2. $𝐱+𝐲=𝐲+𝐱$
3. $(𝐱+𝐲)+𝐳=𝐱+(𝐲+𝐳)$
4. $\mathrm{\exists }\mathrm{𝟎}\in V:\mathrm{\forall }𝐱\in V:𝐱+\mathrm{𝟎}=𝐱$
5. $\mathrm{\forall }𝐱:\mathrm{\exists }-𝐱:𝐱+(-𝐱)=\mathrm{𝟎}$
6. $\alpha 𝐱\in V$
7. $\alpha (\beta 𝐱)=(\alpha \cdot \beta )𝐱$
8. $\alpha (𝐱+𝐲)=\alpha 𝐱+\alpha 𝐲$
9. $(\alpha +\beta )𝐱=\alpha 𝐱+\beta 𝐱$

• Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori, ed il vettore

$𝐯=\sum _i{c}_i{𝐱}_i$

si dice combinazione lineare dei vettori ${𝐱}_i\in V$ con coefficienti $c_i\in 𝔼$;

• Se $S\subseteq V$, l'insieme $<S>$ di tutte le combinazioni lineari finite dei vettori contenuti in $S$ si dice inviluppo lineare (span) di $S$, oppure si dice che $<S>$ genera (spans) $S$.

• I vettori ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k$ si dicono linearmente indipendenti se

$\sum _{i=1}^k{c}_i{𝐱}_i=\mathrm{𝟎}:\Rightarrow c_i=0\mathrm{\forall }i=1,\dots ,k$

si dicono dipendenti in caso contrario.

• Se uno spazio vettoriale $V$ contiene r vettori linearmente indipendenti ma non ne contiene r+1 si dice che ha dimensione r, e si scrive $\dim V=r$.

• Un insieme $S$ di vettori si dice indipendente se tutti i sottoinsiemi finiti di vettori di $S$ sono linearmente indipendenti.

• Un sottoinsieme $B\subseteq V$ che generi $V$ e sia composto da vettori linearmente indipendenti si dice base di $V$.

È opportuno sottolineare che una base vettoriale è tale se genera tutti i vettori di $V$ come combinazioni lineari di un numero finito di vettori della base stessa.

Teorema 2.3.3.

Se uno spazio vettoriale è generato da un insieme di r vettori, allora $\dim V\le r$.

Se $\dim V=r$ allora:

1. Un insieme di $r$ vettori genera $V$ se e solo se gli $r$ vettori sono linearmente indipendenti
2. $V$ ha almeno una base, ed ogni base consiste di $r$ vettori.
3. Se ${{𝐲}_{𝐢}}_{i=1}^s$ con $1\le s\le r$, ed i vettori ${𝐲}_i$ sono linearmente indipendenti, esiste una base di $V$ che contiene i vettori ${𝐲}_i$.

Sottospazio

Definizione 2.3.4.

Un sottoinsieme $M\subset V$ è un sottospazio dello spazio vettoriale $V$ se è a sua volta uno spazio vettoriale, rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per scalare definite in $V$.

In altri termini, è un sottospazio se: $\mathrm{\forall }𝐳,𝐰\in M,\alpha \in 𝔼$ si ha:

1. $𝐳+𝐰\in M$
2. $\alpha 𝐳\in M$

.

Insieme convesso

Un sottoinsieme $E\in V$ si dice convesso se per ogni $𝐱,𝐲\in E$,con $0<t<1$, si ha che:

$𝐳=t𝐲+(1-t)𝐱\in E$;

Osservazioni

Chiaramente, ogni sottospazio è convesso, e se un insieme $E$ è convesso, lo è anche il suo traslato

$E+𝐰=\{𝐱+𝐰:𝐱\in E\}$.

Applicazioni lineari

Definizione 2.3.5.

Un'applicazione $A$ da uno spazio vettoriale $X$ ad uno spazio vettoriale $Y$ si dice lineare se $\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in X,\alpha ,\beta \in 𝔼$

$A(\alpha 𝐱+\beta 𝐲)=\alpha A(𝐱)+\beta A(𝐲)$.

• Le applicazioni lineari da $X$ in $X$ si dicono operatori lineari su $X$.

Definizione 2.3.6.

Un'applicazione lineare $L:X\to ℂ$ si dice funzionale lineare.

• L'insieme dei vettori in $X$ tali che $Lx=0$ si dice kernel (nocciolo, o nucleo) del funzionale $L$.

In altre parole si definisce il kernel di un funzionale L, il seguente insieme:

$Ker(L):=\{𝐱\in X:L𝐱=0\}$