Analisi complessa/Convoluzione

Definizione 3.2.1.Siano $f,g\in L^1(ℝ)$. La convoluzione di $f$ e di $g$ si scrive $f\star g$ ed è definita da

$(f\star g)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(y)g(x-y)dy$

Teorema

Siano $f,g\in L^1(R)$ allora:

1. $f\star g\in L^1(R)$
2. $f\star g=g\star f$
3. $(f\star g)\stackrel{}{^}(\lambda )=\hat{f}(\lambda )\hat{g}(\lambda )$
4. $\Vert f\star g{\Vert }_1=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|(f\star g)(x)|dx\le \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_1$