Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier

Definizione e proprietà

Definizione 3.1.1.

Sia $L^1(R)$l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su $ℝ$,

$L^1(ℝ)=\{f:ℝ\to ℂ,{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(t)|dt<\mathrm{\infty }\}$.

Sia $f\in L^1(ℝ)$, definiamo la trasformata di Fourier di $f$ come la funzione

$\hat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-i\lambda x}dx$

definiamo poi l'antitrasformata di Fourier la funzione

$\check{g}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda$

Sotto opportune ipotesi,

$\left(\hat{f}\right)\stackrel{ˇ}{}=f$

Cioè, l'antitrasformata della trasformata di una funzione $f$ coincide con la funzione stessa

TEOREMA 3.1.2

Sotto opportune ipotesi di regolarità, per le funzioni $f,f_1,f_2\in L^1(ℝ)$e le loro trasformate $\hat{f},\widehat{f_1},\widehat{f_2}$ valgono le seguenti proprietà algebriche:

Siano $a,b\in ℂ,k\in ℝ$:

1. $(a{f}_1+b{f}_2{)}^{\hat{}}=a\widehat{f_1}+b\widehat{f_2}$
2. $(\hat{f}{)}^{\hat{}}(x)=f(-x)$
3. $(\bar{f}{)}^{\hat{}}(\lambda )=\overline{\hat{f}(-\lambda )}$
4. $(f(x-u){)}^{\hat{}}(\lambda )=e^{-i\lambda u}\hat{f}(\lambda )$
5. $(e^{i\mu x}f(x){)}^{\hat{}}(\lambda )=\hat{f}(\lambda -\mu )$
6. $(f(kx){)}^{\hat{}}(\lambda )=\frac{1}{k}\hat{f}\left(\frac{\lambda }{k}\right)$

e le proprietà analitiche:

1. $\hat{f}$ è limitata, $|\hat{f}(\lambda )|\le \Vert f{\Vert }_{L^1}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(x)|dx$
2. $\hat{f}$ è uniformemente continua
3. $\underset{|\lambda |\to \mathrm{\infty }}{lim}\hat{f}(\lambda )=0$
4. Se $f^{(m)}\in L^1(ℝ)$ e $\underset{|x|\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}^{(n)}(x)=0$ per $n\le m$, allora $(f^{(m)}(x){)}^{\hat{}}(\lambda )=(i\lambda {)}^m\hat{f}(\lambda )$
5. Se $x^{m}f(x)\in L^1(ℝ)$ allora

$\mathrm{\forall }j\le m{x}^{j}f(x)\in L^1(ℝ)$, e $((ix{)}^{j}f(x))(\lambda {)}^{\hat{}}={\hat{f}}^{(j)}(\lambda )$

Trasformata di Fourier in $L^2$

Template:Nota $L^2$ non è un sottoinsieme di $L^1$, e quindi esistono funzioni in $L^2$ per le quali

$\hat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-i\lambda x}dx$

non è ben definita.

Si può però definirla senza problemi in $L^2\cap L^1$; considerato che $L^2\cap L^1$ è un sottoinsieme denso di $L^2$, e che $\mathrm{\forall }f\in L^2$ esiste $\left\{f_n\right\}\subseteq L^2\cap L^1$ tale che $f_n\to f$ in norma $2$, possiamo definire

$\hat{f}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\widehat{f_n}$

Dato che la norma di $L^2$ non distingue tra funzioni che differiscono su un insieme di misura $0$ (in effetti gli elementi di $L^2$ sono classi di equivalenza di funzioni che sono uguali quasi ovunque), il problema di questa definizione è che la trasformata è ben definita come elemento dello spazio di Hilbert $L^2$, ma non puntualmente.

Si può dimostrare che vale anche l'uguaglianza di Parseval:

$\Vert f{\Vert }_2=\Vert \hat{f}{\Vert }_2$