Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa

Definizione

Una funzione di variabile complessa è una funzione

$f:S\subseteq ℂ\to ℂ$

dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.

Osservazioni

Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra $ℂ$ ed ${ℝ}^2$, perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in ${ℝ}^2$.
Sia $\mathrm{\Phi }$ una funzione biunivoca che mappa $ℂ$ in ${ℝ}^2$, ad esempio

$\mathrm{\Phi }:z=x+iy\mapsto 𝐰=x𝐢+y𝐣$

Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa

$f:S\subseteq ℂ\to ℂ$

come somma di due funzioni $\mathrm{\Phi }(S)\subseteq {ℝ}^2\to ℝ$

$f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

Limiti

I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di $ℂ$; scriviamo

$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=w⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|z-z_0|<\delta \Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon$

I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un intorno di $\mathrm{\infty }$ come

$|z|>\frac{1}{\epsilon },\epsilon >0$

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}f(z)=w⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|z|>\frac{1}{\delta }\Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon$

$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=\mathrm{\infty }⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|z-z_0|<\delta \Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{\epsilon }$

Teoremi sui limiti

Teorema 1.2.2

Considerando

$f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

$z_0=x_0+i{y}_0$

$w_0=u_0+i{v}_0$

si ha che:

$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=w_0⟺\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}u(x,y)=u_0$ e $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}v(x,y)=v_0$

Teorema 1.2.3

Se

$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=f_0$ e $\underset{z\to z_0}{lim}g(z)=g_0$

allora

1. $\underset{z\to z_0}{lim}[f(z)+g(z)]=f_0+g_0$
2. $\underset{z\to z_0}{lim}[f(z)g(z)]=f_0{g}_0$
3. $\underset{z\to z_0}{lim}[f(z)/g(z)]=f_0/g_0$

per $g_0\ne 0$

Continuità

Definizione

Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.

Una funzione $f(z)$ è continua in $z_0$ se

$\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=f(z_0)$

sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.

Una funzione si dice continua in un insieme se è continua per ogni punto di quell'insieme.

Teoremi sulla continuità

Teorema 1.2.5

Una funzione $f(z)$ è continua se e solo se le sue componenti $u$ e $v$ sono continue.

Teorema 1.2.6

La funzione composta da due funzioni continue è continua.

Teorema 1.2.7

Una funzione continua su un insieme $A$ chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di $A$.