Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

Spazio di Misura

Definizione 4.5.1.

Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in ${ℝ}^p$, ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un $\sigma$-anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme $X$ si dice spazio di misura se esiste un $\sigma$-anello $ℳ$ di sottoinsiemi di $X$

(che si dicono misurabili), ed una funzione di insiemi $\mu$ non negativa e numerabilmente additiva, detta misura, definita su $ℳ$ .

Se $X\in ℳ$, $X$ si dice spazio misurabile.

Sia $f$ una funzione definita su uno spazio misurabile $X$, a valori in $ℝ\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$. La funzione $f$ si dice misurabile se l'insieme

$\{x:f(x)>a\}$

è misurabile per ogni $a\in ℝ$.

Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. $\{x:f(x)>a\}$ è misurabile per ogni $a\in ℝ$
2. $\{x:f(x)\ge a\}$ è misurabile per ogni $a\in ℝ$
3. $\{x:f(x)<a\}$ è misurabile per ogni $a\in ℝ$
4. $\{x:f(x)\le a\}$ è misurabile per ogni $a\in ℝ$

TEOREMA 4.3.3.

• Se $f$ è misurabile, anche $|f|$ è misurabile;
• Se $\left\{f_n\right\}$ è una successione di funzioni misurabili allora

$g(x)=\sup f_n(x)h(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_n(x)$

sono misurabili.

• Se $f$ e $g$ sono misurabili, allora

1. $g+f$
2. $gf$
3. $\max (f,g)$
4. $\min (f,g)$

sono misurabili.

• In particolare sono misurabili

$f^{+}=\max (f,0)f^{-}=-\min (f,0)$

Funzione caratteristica

Definizione

Sia $s$ una funzione definita su $X$ a valori reali.

Se l'immagine di $s$ è finita, diremo che $f$ è una funzione semplice. In particolare è semplice la funzione caratteristica di un sottoinsieme $E\subseteq X$ ,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E, 0 in caso contrario, cioè:

${\chi }_E(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }x\in E\\ 0,& \text{se }x\notin E\end{array}$

Se l'immagine di $s$ è costituita dai valori distinti ${\left\{c_i\right\}}_{i=1}^N$, e $E_i=\{x:s(x)=c_i\}$, allora

$s=\sum _{i=1}^N{c}_i{\chi }_{E_i}$

e $s$ è misurabile se e solo se tutti gli insiemi $E_i$ lo sono.

Teorema

Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia $f:X\to R$, allora esiste una successione $\left\{s_n\right\}$ di funzioni semplici tali che

$s_n(x)\to f(x)$

puntualmente per $n\to \mathrm{\infty }$.

• Se $f$ è misurabile, si può scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
• se è anche non negativa $\left\{s_n\right\}$ si può scegliere monotona crescente.
• Se $f$ è limitata, la convergenza è uniforme.

Definizione

Sia $f$ una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile $X$ con misura $\mu$, e $S$ l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su $X$,

$s=\sum _{i=1}^N{c}_i{\chi }_{E_i}$,

tali che $0\le s\le f$. Sia inoltre $X\supseteq E\in ℳ$.Definiamo

$I_E(s)=\sum _{i=1}^N{c}_i\mu (E\cap E_i)$

allora

$\underset{E}{\int }fd\mu =\underset{s\in S}{\sup }{I}_E(S)$

$s$ si dice integrale di Lebesgue di $f$, rispetto alla misura $\mu$, sull'insieme $E$ .

L'integrale può valere anche $+\mathrm{\infty }$ .

Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa

$\underset{E}{\int }sd\mu =I_E(S)$.

Definizione dell'integrale secondo Lebesgue

La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che $f$ misurabile è integrabile secondo Lebesgue su $E$, rispetto alla misura $\mu$ , e scriveremo $f\in L(\mu )$su $E$, se

$\underset{E}{\int }{f}^{+}d\mu <\mathrm{\infty }\underset{E}{\int }{f}^{-}d\mu <\mathrm{\infty }$

e definiamo

$\underset{E}{\int }fd\mu =\underset{E}{\int }{f}^{+}d\mu -\underset{E}{\int }{f}^{-}d\mu$.

L'integrale così definito gode delle seguenti proprietà:

1. Se $f$ è misurabile e limitata su $E$, e se $\mu (E)<\mathrm{\infty }$, allora $f\in L(\mu )$ su $E$.
2. Se $a\le f\le b$ su $E$, e se $\mu (E)<\mathrm{\infty }$, allora $a\mu (E)\le \underset{E}{\int }fd\mu \le b\mu (E)$
3. Se $f,g\in L(\mu )$ su $E$, e se $f\le g$ in $E$, allora $\underset{E}{\int }fd\mu \le \underset{E}{\int }gd\mu$
4. Se $f\in L(\mu )$ su $E$, allora $cf\in L(\mu )$ su $E$ per ogni costante finita $c$, e $\underset{E}{\int }cfd\mu =c\underset{E}{\int }fd\mu$
5. Se $\mu (E)=0$ e $f$ è misurabile, allora $\underset{E}{\int }fd\mu =0$
6. Se $f\in L(\mu )$ su $E$, $A\subseteq E$ è misurabile, allora $f\in L(\mu )$ su $A$ .

Teorema 4.3.8.

Se $f$ è misurabile e non negativa su $X$, oppure se $f\in L(\mu )$ su $X$, e definiamo per $A\in ℳ$

$\varphi (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$

$\varphi$ è numerabilmente additiva su $ℳ$.

Corollario 4.3.9.

Se $A,B\in ℳ$ e $\mu (A\setminus B)=0$, e $f$ è misurabile e non negativa, oppure $f\in L(\mu )$ su $X$, allora

$\underset{A}{\int }fd\mu =\underset{B}{\int }fd\mu$

In altre parole, se due funzioni differiscono solo su un insieme di misura nulla, il loro integrale sarà uguale.

Se per una funzione una proprietà vale per tutti i punti in cui è definita, eccetto che per un insieme di punti di misura nulla, diremo che la proprietà è verificata quasi ovunque.

Teorema 4.3.10.

Se $f\in L(\mu )$ su $E$, allora anche $|f|\in L(\mu )$ su E;

• se $f$ è misurabile su $E$, e $|f|\le g$ e $g\in L(\mu )$ su $E$, allora $f\in L(\mu )$ su $E$.

Teorema della convergenza monotona di Lebesgue

Sia $E\in ℳ$, sia $\left\{f_n\right\}$ una successione di funzioni misurabili tali che

$0\le f_1(x)\le f_2(x)\le \cdots \le f_n(x)\le f_{n+1}(x)\le \cdots \mathrm{\forall }x\in E$

Se definiamo $f$ come $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ allora

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{E}{\int }fd\mu$

Corollario

1. Siano $f_1,f_2\in L(\mu )$ su E, allora:

   • $f=f_1+f_2\in L(\mu )$ su E
   • $\underset{E}{\int }fd\mu =\underset{E}{\int }{f}_{1}d\mu +\underset{E}{\int }{f}_{2}d\mu$

2. Se $\left\{f_n\right\}$ è una successione di funzioni misurabili non negative,

   $f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)\mathrm{\forall }x\in E$

allora

$\underset{E}{\int }fd\mu =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{E}{\int }{f}_{n}d\mu$

Teorema di Fatou

Sia $E\in ℳ$,$\left\{f_n\right\}$ una successione di funzioni misurabili non negative e $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n(x)$ allora

$\underset{E}{\int }fd\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{E}{\int }{f}_{n}d\mu$

Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Sia $E\in ℳ$, $\left\{f_n\right\}$ una successione di funzioni misurabili tali che $f_n(x)\to f(x)$; se esiste una funzione $g\in L(\mu )$ su $E$ tale che

$|f_n(x)|\le g(x)\mathrm{\forall }n,x\in E$,

allora

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{E}{\int }fd\mu$.

Integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue

L'integrale di Lebesgue permette di integrare classi più ampie di funzioni, e soprattutto l'integrabilita' si conserva in modo naturale per operazioni di passaggio al limite. Dato che $R^1$ è uno spazio misurabile con il $\sigma$ -anello e la misura di Lebesgue definite nella sezione , diventa naturale chiedersi che relazione esista tra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue nel caso di integrali su intervalli di $R^1$ .

Teorema 4.3.15.

Se $f\in ℛ([a,b])$, allora $f\in L(m)$ su $[a,b]$,e

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=\underset{[a,b]}{\int }fdm$

Se $f$ è limitata su $[a,b]$, è Riemann-integrabile se e solo se è continua quasi ovunque in $[a,b]$ .