Analisi complessa/Integrale di Riemann

Template:Analisi complessa Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di $ℝ$.

Definizione 4.1.1.

Sia dato un intervallo $[a,b]$, con $a\le b\in ℝ$. Si definisce partizione di $[a,b]$ un insieme finito di punti,$P$, tali che

$a=x_0\le x_1\le \dots \le x_n-1\le x_n=b$

Scriveremo inoltre $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_1-x_i-1$.

Se ora $f$ è una funzione reale limitata definita su $[a,b]$, e $P$ una partizione di $[a,b]$ poniamo

• $M_i=\underset{x_i-1\le x\le x_i}{\sup }f(x)m_i=\underset{x_i-1\le x\le x_i}{\inf }f(x)$
• $U(P,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_{i}L(P,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$
• $\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}fdx=\inf U(P,f)\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}fdx=\sup L(P,f)$

dove $\inf ,\sup$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di $[a,b]$, e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.

Se i due integrali sono uguali, $f$ si dice Riemann-integrabile ( $f\in ℛ([a,b])$ ), e definiamo l'integrale di Riemann di $f$ su $[a,b]$ il valore comune dei due integrali,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=\overline{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}f,dx=\underset{\_}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}}fdx$

Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono $m,M\in ℝ$ tali che $m\le f(x)\le M$ per ogni $x\in [a,b]$, $m(b-a)\le L(P,f)\le U(P,f)\le M(b-a)$ gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Teorema

$f\in ℛ([a,b])$ se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esiste una partizione $P$ tale che $U(P,f)-L(P,f)<\epsilon$

Se tale condizione è verificata per la partizione $P=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ e $t_i\in [x_{i-1},x_i]$ allora

$|\sum _{i=1}^{n}f(t_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx|<\epsilon .$