Analisi complessa/Integrali nel campo complesso

Integrale

Occorre parlare delle definizioni di integrali nel campo complesso. Conviene cominciare introducendo gli integrali di una funzione di variabile reale con valori complessi,

$w(t)=u(t)+iv(t)$;

Definiamo la derivata di tale funzione come

$w^{\prime }(t)=u^{\prime }(t)+i{v}^{\prime }(t)$

per la quale valgano formalmente le stesse regole di derivazione del caso a valori reali.

Gli integrali si introducono naturalmente, in questo contesto, come

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t)dt+i\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)dt$

in modo da poter trasportare senza problemi le varie regole di integrazione del caso reale.

Teorema fondamentale del calcolo

Gli integrali sono di sicuro ben definiti se le funzioni $u$ e $v$ sono continue a tratti, e vale il teorema fondamentale del calcolo integrale: se $z^{\prime }(t)=w(t)$, allora

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(t)dt=z(b)-z(a)$

Inoltre vale la disuguaglianza

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(t)dt|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|w(t)|dt(a<b)$

Curve parametriche

definizione

Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei percorsi di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili. Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in $C$, definibili come

$z(t)=x(t)+iy(t)$;

un arco di curva è un tratto con $z$ definita per $t\in [a,b]\subseteq R$, continua.

• si dice semplice se

$z(t_1)=z(t_2)⟺t_1=t_2$

(la curva non ha autointersezioni), e chiuso se

$z(a)=z(b)$

• Si dice regolare se

$z\in C^1([a,b])$

e

$z^{\prime }(t)\ne 0$

tranne al più agli estremi.

• È regolare a tratti se è possibile suddividerla in un numero finito di archi regolari.

Teorema (di Jordan)

Ogni curva semplice e chiusa divide il piano in due regioni aperte, una limitata (interno) ed una non limitata (esterno).

Definizione

Per ogni arco di curva semplice e regolare $z(t)$ è possibile definirne la lunghezza come l'integrale

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|z^{\prime }(t)|dt$

Teorema

La definizione di lunghezza appena data è indipendente dalla parametrizzazione; considerando la curva parametrica

$\tilde{z}(\tau )=z(\varphi (\tau ))$

dove

$\varphi (\tau ):[\alpha ,\beta ]\to ℝ$

è una funzione con derivata continua mai uguale a zero (in modo da garantire che mappi in maniera biunivoca $[\alpha ,\beta ]$ su $[a,b]$),

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|z^{\prime }(t)|dt=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}|{\tilde{z}}^{\prime }(\tau )|d\tau$

Integrali di contorno

Abbiamo ora gli strumenti necessari per introdurre una definizione conveniente di integrale per una funzione di variabile complessa a valori complessi, lungo un percorso di integrazione $C$ rappresentato da una curva parametrica in $C$.

Definizione.

Sia $C$ una curva regolare a tratti con supporto contenuto in un insieme aperto $\mathrm{\Omega }$,

$C=\bigcup _i{z}_i(t),z_i(t):[a_i,b_i]\to ℂ,a_i=b_{i-1},z_i{b}_i=z_{i+1}(a_{i+1})$

Sia $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ una funzione continua. Definiamo

$\underset{C}{\int }f(z)dz=\sum \underset{a_i}{\overset{b_i}{\int }}f(z_i(t))z_{i^{\prime }}(t)dt$.

Segue da questa definizione che se possiamo scomporre il percorso $C$ come "somma di due percorsi" $C_1$ e $C_2$ (tali che $z_1:[a,c]\to C$, $z_2:[c,b]\to C$ e $z_1(c)=z_2(c)$)

$\underset{C}{\int }f(z)dz=\underset{C_1}{\int }f(z)dz+\underset{C_2}{\int }f(z)dz$

e che se consideriamo il percorso $-C$ identico al percorso $C$ ma con verso di percorrenza opposto,

$\underset{-C}{\int }f(z)dz=-\underset{C}{\int }f(z)dz$

Teorema

Vale la disuguaglianza

$|\underset{C}{\int }f(z)dz|\le ML$

dove $M$ è il massimo valore di $|f(z)|$ assunto dalla funzione lungo il percorso, e $L$ la lunghezza del percorso.

Primitiva

Definizione

Esiste una correlazione stretta tra gli integrali di contorno nel campo complesso e quelli in ${ℝ}^2$; infatti è possibile usare una definizione di primitiva, che svolge una funzione analoga al potenziale nel caso reale.

Si dice primitiva di una funzione $f:D\subseteq ℂ\to ℂ$ continua una funzione $F$ tale che $F^{\prime }(z)=f(z)$ in tutto il dominio $D$. La primitiva è unica a meno di una costante additiva.

Teorema

Sia $f$ una funzione continua su un dominio $D$. Allora ognuna di queste proprietà implica le altre due:

• $f$ ha primitiva $F$ in $D$
• l'integrale di $f$ lungo contorni interamente contenuti in $D$ dipende solo dai punti iniziali e finali del contorno
• l'integrale di $f$ lungo ogni contorno chiuso interamente contenuto in $D$ è nullo.

Teorema di Cauchy-Goursat

Se una funzione $f$ è analitica all'interno e sui punti di un cammino semplice chiuso $C$, allora

$\underset{C}{\int }f(z)dz=0$.

Questo teorema può essere provato facilmente, sotto ipotesi leggermente più forti (supponendo anche la continuità di $f^{\prime }$), ricorrendo al Teorema di Green:

Teorema di Green

Se $Q(x,y)$ $P(x,y)$ e le loro derivate parziali sono continue su di un contorno $C$ e sulla regione interna $R$, allora

$\underset{C}{\int }Pdx+Qdy=\underset{R}{\iint }(Q_x-P_y)dA$

Dominio semplicemente connesso

Definizione

• Un dominio si dice semplicemente connesso se ogni contorno semplice chiuso contenuto in $D$ ha interno interamente contenuto in $D$.

• Un dominio che non sia semplicemente connesso si dice molteplicemente connesso.

È un'immediata conseguenza del teorema di Cauchy-Goursat che:

Teorema

Se una funzione $f$ è analitica in un dominio semplicemente connesso $D$,

$\underset{C}{\int }f(z)dz=0$

per ogni cammino semplice chiuso $C$ contenuto in $D$.

Corollario

Una funzione analitica su un dominio semplicemente connesso ammette antiderivata in quel dominio.

Teorema

Consideriamo $f$ analitica in un dominio $D$ molteplicemente connesso. Sia $C$ un cammino semplice chiuso in $D$ percorso in senso antiorario, e $C_k:(k=1\dots n)$ cammini semplici chiusi interamente contenuti interno di $C$, percorsi in senso orario, i cui interni non abbiano punti in comune, e tali che tutti i punti dell'interno di $C$ in cui $f$ non è analitica siano contenuti all'interno di uno dei $C_k$, allora

$\underset{C}{\int }f(z)dz+\sum _k\underset{C_k}{\int }f(x)dz=0$

Corollario

Se $C_1$ e $C_2$ sono due cammini semplici chiusi percorsi nello stesso verso, per i quali l'interno di $C_2$ è interamente contenuto nell'interno di $C_1$, e se una funzione $f$ è analitica nella regione chiusa compresa tra i due contorni, allora

$\underset{C_1}{\int }f(z)dz=\underset{C_2}{\int }f(z)dz.$

Teorema di rappresentazione di Cauchy

Se una funzione $f$ è analitica all'interno e sul bordo di un contorno semplice chiuso $C$, percorso in senso positivo (antiorario), per ogni punto $z_0$ interno al contorno stesso

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz.$

Inoltre tutte le derivate della funzione sono analitiche all'interno del contorno, e

$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$

Corollario

Se una funzione è analitica in un punto $z=x+iy$, le sue componenti $u(x,y)$ e $v(x,y)$ hanno derivate parziali continue di ogni ordine in $(x,y)$.

Teorema di Morera

Se una funzione è continua in un dominio $D$ e

$\underset{C}{\int }f(z)dz=0$

per ogni cammino semplice chiuso contenuto in $D$, $f$ è analitica in $D$.

Teorema di Liouville

Se $f$ è intera e limitata nel piano complesso, allora $f(z)$ è costante su tutto il piano.

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio

$P_N(z)=\sum _{n=0}^N{a}_n{z}^n$

di ordine $N>0$ ha almeno uno zero.

Corollario

Un polinomio di grado $N>0$ può essere fattorizzato come un prodotto di $n$ termini lineari

$P_N(z)=\sum _{n=0}^N{a}_n{z}^n=c\prod _{n=1}^N(z-z_n)$

Teorema

Se $f$ è analitica in un intorno $|z-z_0|<\epsilon$ di un punto $z_0$, e $|f(z)|\le |f(z_0)|$ per ogni punto $z$ appartenente all'intorno, allora $f(z)=f(z_0)$ in tutto l'intorno. Se $f$

è analitica in un dominio $D$ e non è costante, allora non ha massimo modulo in $D$.

Corollario

Se $f$ è continua su una regione chiusa e limitata, ed è analitica e non costante all'interno della regione stessa, allora il massimo modulo di $|f(z)|$ si registra sul bordo della regione, e mai all'interno.