Analisi complessa/Misura di Lebesgue

Template:Analisi complessa Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.

Indichiamo con il simbolo $\mathrm{\varnothing }$ l'insieme vuoto.

Se $A$ e $B$ sono due insiemi, definiamo:

• l' unione dei due insiemi,

  $A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

• l' intersezione,

  $A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

• la differenza,

  $A\setminus B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

Definizione 4.2.1.

Due insiemi si dicono disgiunti se

$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$.

Una famiglia di insiemi $R$ si dice anello se presi due insiemi $A,B\in R$, implica che:

1. $A\cup B\in R$ (chiusura rispetto all'unione)
2. $A\setminus B\in R$ (chiusura rispetto alla differenza).

La proprietà 2. ne implica una terza:

$A\cap B\in R$, infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$.

$R$ si chiama $\sigma$-anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di $R$ è ancora un elemento di $R$, cioè se $A_n\in R$ implica

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in R$ (chiusura rispetto all'unione numerabile)

Se $R$ è un $\sigma$-anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di $R$ è ancora un elemento dell'anello,

$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=A_1\setminus \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_1-A_n)\in R$ (chiusura rispetto all'intersezione numerabile)

Definizione

Una funzione

$\varphi :R\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$

si dice funzione di insiemi

• additiva se

  $A,B\in RA\cap B=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow \varphi (A\cup B)=\varphi (A)+\varphi (B)$

• numerabilmente additiva se:

  $A_i\in R;i\ne j\Rightarrow A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow \varphi \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\varphi (A_n)$

Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia $+\mathrm{\infty }$ che $-\mathrm{\infty }$, e quelle per cui $\mathrm{\forall }A\in R:\varphi (A)=\pm \mathrm{\infty }$.

Se una funzione di insiemi $\varphi$ soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti proprietà:

1. La serie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\varphi (A_n)$ converge assolutamente;
2. $\varphi (\mathrm{\varnothing })=0$;
3. $\varphi \left(\bigcup _{n=1}^N{A}_i\right)=\sum _{n=1}^N\varphi (A_n)$ se $i\ne j\Rightarrow A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$
4. Se $\mathrm{\forall }A\in R:\varphi (A)\ge 0$ e $A\subseteq B$ allora $\varphi (A)\le \varphi (B)$.
5. Se $A\subseteq B$ e $|\varphi (A)|<\mathrm{\infty }$, $\varphi (B\setminus A)=\varphi (B)-\varphi (A)$
6. Se $A_n\in R$ e $A_n\subseteq A_{n+1}$ e $A_n\subseteq A$ con $A\in R$

$A=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\varphi (A_n)=\varphi (A)$

Costruzione della misura di Lebesgue

Definizione 4.2.3.

Definiamo un intervallo in ${ℝ}^p$ l'insieme dei punti

$𝐱\in {ℝ}^p=(x_1,x_2,\dots ,x_p)$

tali che

$a_i<x_i<b_{i}i=1,\dots ,p$

sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni $<$ segni sostituiti da $\le$; non si esclude il caso in cui per qualche $j$ si abbia $a_j=b_j$, e l'insieme vuoto è un intervallo.

Definizione.

Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme elementare.

Definiamo la funzione di insiemi

$m(I)=\prod _{i=1}^p(b_i-a_i)$

e se $A=\bigcup _{n=1}^N{I}_n$ è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo

$m(A)=\sum _{n=1}^{N}m(I_n)$.

Teorema

Indichiamo con $ℰ$ la famiglia dei sottoinsiemi elementari di $ℝ$.

1. $ℰ$ è un anello, ma non un $\sigma$-anello
2. $\mathrm{\forall }A\in ℰ$, è possibile scrivere $A$ come l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti
3. $m(A)$ definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono $A$
4. $m$ è additiva su $ℰ$.

Definizione 4.2.5

Una funzione di insiemi additiva e non negativa $\psi$ definita su $ℰ$ si dice regolare se per ogni $A\in ℰ$ e $\epsilon >0$ esistono $F,G\in ℰ$, con $F$ chiuso e $G$ aperto, tali che

$F\subseteq A\subseteq G$

e

$\psi (G)-\epsilon \le \psi (A)\le \psi (F)+\epsilon .$

Ad esempio, $m$ è regolare.

Sia ora $\mu$ additiva, non negativa, regolare e finita su $ℰ$. Ricopriamo un insieme $B\subseteq {ℝ}^p$ con un'infinità numerabile di insiemi aperti elementari $A_n$,

$B\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$.

Definiamo la misura esterna di $B$ corrispondente a $\mu$

${\mu }^{\star }(B)=inf\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$

dove l'$inf$ è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di $B$.

Evidentemente ${\mu }^{\star }(B)\ge 0$, e se $B_1\subseteq B_2$, allora ${\mu }^{\star }(B_1)\le {\mu }^{\star }(B_2)$.

TEOREMA 4.2.6.

Per ogni $A\in ℰ$,

${\mu }^{\star }(A)=\mu (A)$

e se

$B=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$ allora ${\mu }^{\star }(B)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{\star }(B)$

Definizione

Definiamo la differenza simmetrica tra due insiemi $A$ e $B$ come

$S(A,B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

e, se $A,B\subseteq {ℝ}^p$

$d(A,B)={\mu }^{\star }(S(A,B))$.

La funzione $d(A,B)$ è quasi una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà:

1. $d(A,B)=d(B,A)$
2. $d(A,A)=0$
3. $d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B)$

Non è vero tuttavia che $d(A,B)=0\Rightarrow A=B$. A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme delle classi di equivalenza dei sottoinsiemi di ${ℝ}^p$ rispetto alla relazione di equivalenza $d(A,B)=0$.

A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno spazio metrico. Diremo che $A_n\to A$(la successione di insiemi $A_n$ converge all'insieme A) se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(A,A_n)=0$.

Se esiste una successione $\left\{A_n\right\}\subseteq ℰ$ di insiemi elementari tale che $A_n\to A$ diremo che $A$ è finitamente $\mu$-misurabile, e scriveremo

$A\in {ℳ}_F(\mu )$

Se $A$ è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente $\mu$-misurabili, diremo che è $\mu$-misurabile, e scriveremo $A\in ℳ(\mu )$.

Teorema

$ℳ(\mu )$ è un $\sigma$-anello, e ${\mu }^{\star }$ è numerabilmente additiva su $ℳ(\mu )$.

In altri termini, ${ℳ}_F(\mu )$ è il completamento di $ℰ$, e $ℳ(\mu )$ estende ${ℳ}_F(\mu )$ rendendolo un $\sigma$-anello.

In maniera analoga ${\mu }^{\star }$ estende la funzione $\mu$ (definita solo su $ℰ$) dandole un senso anche in $ℳ(\mu )$, nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice misura, e se $\mu =m$ si dice misura di Lebesgue.