Analisi complessa/Norma e spazi di Banach

Definizione 2.4.1.

Una norma è un'applicazione $\Vert \cdot \Vert$ sullo spazio vettoriale $V$ (rispetto al campo $𝕂$ reale o complesso) che ha le seguenti proprietà:

siano $𝐱,𝐲\in V$ e $\lambda \in 𝕂$

1. $\Vert 𝐱\Vert \ge 0$
2. $\Vert 𝐱\Vert =0⟺𝐱=\mathrm{𝟎}$
3. $\Vert \lambda 𝐱\Vert =|\lambda |\Vert 𝐱\Vert$
4. $\Vert 𝐱+𝐲\Vert \le \Vert 𝐱\Vert +\Vert 𝐲\Vert$

Teorema

Una norma permette di definire una funzione

$d_{\Vert \cdot \Vert }:V^2\to ℝ$,

$d_{\Vert \cdot \Vert }(𝐱,𝐲)=\Vert 𝐱-𝐲\Vert$

che ha le proprietà di una distanza; $V$ è quindi uno spazio metrico rispetto alla distanza indotta dalla norma.

Definizione 2.4.3.

Uno spazio vettoriale su $ℂ$ dotato di norma e completo rispetto alla metrica indotta dalla norma si dice spazio di Banach.