Analisi complessa/Numeri complessi

Definizione 1.1.1.

Definiamo l'insieme dei numeri complessi $ℂ$ come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali $(x,y)\in {ℝ}^2$ con somma e prodotto definiti come

$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2,x_2{y}_1+x_1{y}_2)$

È facile convincersi che con queste definizioni, l'insieme dei numeri complessi ha le proprietà algebriche di un campo . Inoltre, assimilando i numeri della forma $(x,0)$ ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come

$(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy$

dove i = (0,1).

L'analogia tra $ℂ$ ed ${ℝ}^2$ (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero

$z\in ℂ=x+iy=(x,y)$

definiamo:

• il coniugato

$\overline{z}=x-iy$

• la parte reale

$Rez=x=(z+\overline{z})/2$

• la parte immaginaria

$Imz=y=(z-\overline{z})/2$

• il modulo

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere $z\in ℂ$ come

$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$

Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. $\rho$ è il modulo di $z$ e $\theta$ l'argomento $\theta =\arg z$, che è definito a meno di multipli interi di $2\pi$. Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in $(-\pi ,\pi )$, $\arg z$.

Definendo poi tramite la formula di Eulero

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo

$z=\rho e^{i\theta }$

Proprietà

Teorema 1.1.2

Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano $z_1,z_2\in ℂ$, con $z_1=x_1+i{y}_1={\rho }_1{e}^{i{\theta }_1}$ e $z_2=x_2+i{y}_2={\rho }_2{e}^{i{\theta }_1}$. Avremo:

1. ${\rho }_1=|z_1|$
2. $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$
3. $z_1{z}_2={\rho }_1{\rho }_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$
4. $z_1/z_2=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$
5. $z_1^n={\rho }_1^n{e}^{in{\theta }_1}n\in \mathbb{Z}$
6. $\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{{\rho }_1}{e}^{i(\frac{{\theta }_1}{n}+\frac{k2\pi }{n})}k=0,1,\dots n-1$

Inoltre si nota che $|\cdot |$ soddisfa le definizioni di una distanza, e di conseguenza si può considerare $ℂ$ uno spazio metrico.