Analisi complessa/Operatori lineari in H

Operatore lineare

Definizione 2.7.1

Definiamo $ℒ(H)$ l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert $H$ in se stesso

$ℒ(H)=\{L:H\to H;x,y\in H,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow L(\alpha x+\beta y)=\alpha Lx+\beta Ly\}$.

Un operatore lineare si dice

• continuo

  se $\mathrm{\forall }{x}_0\in H,\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\exists }\delta >0:\Vert x-x_0\Vert <\delta \Rightarrow \Vert Lx-L{x}_0\Vert <\epsilon ;$

• limitato se

  $\mathrm{\exists }k>0:\mathrm{\forall }x\in H\Vert Lx\Vert <k\Vert x\Vert$ .

Per un operatore $L\in ℒ(H)$le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• $L$ è continuo in $0$;
• $L$ è continuo in tutto $H$;
• $L$ è limitato $\mathrm{\forall }{x}_n:x_n\to \overline{x}\Rightarrow L{x}_n\to L\overline{x}$

Norme di operatori

Definizione

Sia $ℬ(H)$ l'insieme degli operatori lineari limitati su $H$; definiamo

$\Vert L{\Vert }_{ℬ(H)}=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Lx\Vert }{\Vert x\Vert }=\underset{x\ne 0}{\sup }\Vert L\frac{x}{\Vert x\Vert }\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Lx\Vert$

$ℬ(H)$ è uno spazio vettoriale su $ℂ$, ponendo

• $(L_1+L_2)x=L_{1}x+L_{2}x$
• $(\lambda L)x=\lambda Lx$.

Teorema

$\Vert \cdot {\Vert }_{ℬ(H)}$ è una norma, e $ℬ(H)$ è completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.

Teorema

Siano:

• $H$ uno spazio di Hilbert,
• $\left\{x_n\right\}$ una successione in $H$ con $\Vert x_n\Vert \le K<\mathrm{\infty }$,
• $\left\{y_n\right\}$ un'altra successione in $H$ con $\Vert y_n\Vert \le K<\mathrm{\infty }$
• $\left\{{\alpha }_n\right\}$ una successione in $ℂ$ con $\sum _n|{\alpha }_n|\le K<\mathrm{\infty }$

Allora l'applicazione

$x\to \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{x}_n{y}_n$

è lineare e continua.

Definizione2.7.6.

Consideriamo una successione di operatori

$\left\{L_n\right\}\subseteq ℒ(H)$

Diciamo che $L_n\to L$

• In norma se

  $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N:n>N\Rightarrow \Vert L_n-L{\Vert }_{ℬ(H)}<\epsilon$,

cioè se

$\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert L_{n}x-Lx\Vert <ϵ$ .

• Fortemente se

  $\mathrm{\forall }x\in H{L}_{n}x\to Lx$,

cioè se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,x\in H\mathrm{\exists }{N}_x:n>N_n\Rightarrow \Vert L_{n}x-Lx\Vert <\epsilon$

• Debolmente se

  $\mathrm{\forall }x,y\in H<L_{n}x,y>⟶<Lx,y>$.

Teorema

La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica a sua volta la convergenza debole, ma non vale il viceversa.

Definizione 2.7.8.

Definiamo kernel (nocciolo) di un operatore $L\in ℒ(H)$ l'insieme degli $x\in H$ tali che $Lx=0$. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.

Definiamo rango di un operatore l'insieme degli $y\in H$ tali che $Lx=y$ per qualche $x\in H$:

$\ker L=\{x\in H:Lx=0\}$

$r(L)=\{y\in H:\mathrm{\exists }x\in H:Lx=y\}$

Operatori aggiunti

Definizione 2.7.9.

Sia $L\in ℒ(H)$; definiamo l' operatore aggiunto $L^{\star }$ come l'operatore che $\mathrm{\forall }x,y\in H$ soddisfa

$<Lx,y>=<x,L^{\star }y>$.

TEOREMA 2.7.10.

Se $L\in ℬ(H)$ anche $L^{\star }\in ℬ(H)$; inoltre

$\Vert L^{\star }{\Vert }_{ℬ}=\Vert L{\Vert }_{ℬ}$

e

$(L^{\star }{)}^{\star }=L$.

Nel caso finito-dimensionale, per ${ℂ}^N$, si può mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, $A=(a_{ij})$, con $a_{ij}\in ℂ$, in modo tale che

$L𝐱=A𝐱=\sum _{ij}{a}_{ij}{x}_j{\hat{e}}_i$,

dove ${\hat{e}}_i$ sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti $x_i$ dei vettori dello spazio.

Inoltre, con il prodotto scalare definito come

$(𝐱,𝐲)=\sum _i{x}_i\overline{y_i}$

è facile mostrare che $L^{\star }$ è rappresentato dalla matrice aggiunta

$A^{\star }=(\overline{a_{ji}})$

Operatori compatti

Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).

Definizione 2.7.11.

Sia $A\subseteq X$, dove $X$ è uno spazio metrico.

$A$ si dice compatto se per ogni successione

$\left\{x_n\right\}\subseteq A$

esiste una sottosuccessione che converge ad un punto $x\in A$.

Un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura $\overline{A}$ di un insieme $A$ è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente $\overline{A}=A$ se $A$ è chiuso.

Un insieme si dice precompatto se la sua chiusura è compatta.

TEOREMA 2.7.12

Sia $A\subseteq J$ dove $J$ è uno spazio normato; allora se

$A$ è compatto, è anche chiuso e limitato ($\mathrm{\exists }K>0:\Vert x{\Vert }_J<K\mathrm{\forall }x\in A$).

Se $J={ℝ}^N,{ℂ}^N$ (finito-dimensionale) $A\subseteq J$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

In ${ℂ}^N$ ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.

Questi teoremi non si possono però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente teorema:

Sia $H$ spazio di Hilbert, con $\dim H=\mathrm{\infty }$,allora l'insieme $S=\{x:\Vert x\Vert =1\}$ è chiuso e limitato ma non compatto.

Siamo ora pronti a definire la nozione di operatori compatti.

Definizione 2.7.16

Un operatore $L\in ℒ(H)$ si dice compatto se per $\mathrm{\forall }C\subseteq H$ limitato, $L(C)$ è precompatto; in altre parole, se

$\mathrm{\forall }{x}_n\in H,\Vert x_n\Vert <K\mathrm{\exists }\left\{x_{n_k}\right\}:\left\{L{x}_{n_k}\right\}$ converge.

TEOREMA 2.7.17.

Se $\dim r(L)<\mathrm{\infty }$, $L$ è compatto.

Se $H$ è separabile, ogni operatore compatto è limite in norma di una successione di operatori $A_n$ con $\dim r(A_n)<\mathrm{\infty }$.

Spettro di operatori

Definizione 2.7.18.

Definiamo il prodotto di due operatori

$L_1,L_2\in ℬ(H)$

come

$(L_1{L}_2)x=L_1(L_{2}x)\mathrm{\forall }x\in H$.

È facile notare che

$\Vert L_1{L}_2\Vert \le \Vert L_1\Vert \Vert L_2\Vert$.

Questo fatto, unito alla completezza di $ℬ(H)$ ed alla presenza di un funzionale lineare continuo $E:x\to x$ tale che

$LE=EL=L:\mathrm{\forall }L\in ℬ(H)$

e

$\Vert E\Vert =1$

fa di $ℬ(H)$ un'algebra di Banach.

Definiamo l' operatore inversodi un operatore $L:H\to H$ l'operatore $L^{-1}$ tale che

$\mathrm{\forall }y\in H{L}^{-1}y=x⟺Lx=y$

L'operatore inverso esiste se e solo se $L$ è biunivoco: se $L$ non fosse suriettivo, $L^{-1}$ non sarebbe definito per qualche $y\in H$, e se non fosse iniettivo, $L{x}_1=L{x}_2=y$ e quindi $L^{-1}y$ non sarebbe univocamente definito;

$L^{-1}L=L{L}^{-1}=E$

L'inversa di un'applicazione lineare è lineare.

Teorema della mappa aperta

Siano $G$ e $W$ due spazi di Banach su $ℂ$, e $L:G\to W$ lineare. Se

$L(G)=W$ (se $L$ è suriettiva)

allora sia

$S_G\subseteq G=\{x\in G:\Vert x\Vert \le 1\}$

la sfera unitaria in $G$, allora

$\delta S_W\subseteq L(S_G)$

dove $\delta S_W$ è la sfera di raggio $\delta >0$ in $W$.

Corollario.

Se $L\in ℬ(H)$ ed è biunivoca, allora

$\Vert Lx\Vert \ge \delta \Vert x\Vert$;

pertanto

$\Vert x\Vert =\Vert L{L}^{-1}x\Vert \ge \delta \Vert L^{-1}x\Vert$

quindi

$\Vert L^{-1}x\Vert \le 1\delta \Vert x\Vert$

e dunque

$L^{-1}\in ℬ(H)$.

Definizione di spettro.

Definiamo lo spettro $\sigma (L)$ di un operatore $L\in ℬ(H)$ come l'insieme dei $\lambda \in ℂ$ tali che

$L-\lambda E$

non ammette inverso continuo.

Se esiste un vettore $v\ne 0$ tale che per un $\overline{\lambda }\in \sigma (L)$ vale che $Lv-\overline{\lambda }v=0$ (in altri termini se $\ker (L-\overline{\lambda }E)\ne 0$) si dice che $\overline{\lambda }$ è un autovalore di $L$. L'insieme degli autovalori si dice spettro discreto ${\sigma }_D(L)$;chiaramente ${\sigma }_D\subseteq \sigma$ .

TEOREMA 2.7.23

Per ogni operatore $L\in ℬ(H)$,$\sigma (L)$ è chiuso e limitato.

TEOREMA 2.7.24

Sia $T\in ℒ(H)$ operatore compatto. Allora è vero che:

• $\mathrm{\forall }\lambda \ne 0\dim \ker (T-\lambda I)<\mathrm{\infty }$
• Se $\dim H=\mathrm{\infty }$ allora $0\in \sigma (T)$
• $\mathrm{\forall }S\in ℬ(H)$
• sia $ST$ che $TS$ sono compatti.

TEOREMA 2.7.25.

Sia $T\in ℒ(H)$ operatore compatto. Per ogni $n>0$ esiste solo un numero finito di elementi di $\sigma (T)$ che siano maggiori di $0$; in altri termini gli elementi dello spettro sono al più numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione è lo $0$.Inoltre $\sigma (T)={\sigma }_D(T)$.

Operatori autoaggiunti.

Un operatore si dice autoaggiunto se $L^{\star }=L$.Se $L\in ℬ(H)$è autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.

Teorema

Se $T\in ℬ(H)$ è compatto ed autoaggiunto, e $H$ è separabile, allora gli autovettori di $T$ costituiscono una base Hilbertiana per $H$.