Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert

Prodotto scalare

Definizione

Sia $X$ uno spazio lineare sul campo $𝕂(=ℝ$ o $ℂ)$, si definisce prodotto scalare, l'applicazione

$<\cdot ,\cdot >:X\times X⟶𝕂$

che possiede le seguenti proprietà:

1. $<x+y,z>=<x,z>+<y,z>$
2. $<\alpha x,y>=\alpha <x,y>$
3. $<x,y>=\overline{<y,x>}$
4. $<x,x>\ge 0\mathrm{\forall }x\in X$
   • $<x,x>=0⟺x=0$

Osservazioni

Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come: $<x,y>=<y,x>$ (simmetria).

Il prodotto scalare induce una norma

$||\cdot ||:X⟶{ℝ}^{+}$

definita come

$||x||:=\sqrt{<x,x>}$

La funzione su scritta è ben definita grazie alla proprietà 4. del prodotto scalare. Inoltre si può definire una distanza (o metrica)

$d_{||\cdot ||}:X\times X⟶{ℝ}^{+}$

come segue:

$d_{||\cdot ||}(x,y)=||x-y||=\sqrt{<x-y,x-y>}$

Teorema

Dalle proprietà sopra elencate per il prodotto scalare ne seguono altre:

1. $<0,y>=0\mathrm{\forall }y\in X$
2. $<x,\alpha y>=\overline{\alpha }<x,y>$

Si dimostrano altre proprietà che valgono sulla norma $||x||:=\sqrt{<x,x>}$:

1. $|<x,y>|\le ||x||||y||$ (Disuguaglianza di Schwartz)
2. $||x+y||\le ||x||+||y||$ (disuguaglianza triangolare)
3. $||\alpha x||=|\alpha |||x||$

Spazio di Hilbert

Definizione

Lo spazio di Hilbert è uno spazio:

• su cui è definito un prodotto scalare
• completo rispetto alla metrica indotta dalla norma indotta a sua volta dal prodotto scalare.

Esempi: Sono spazi di Hilbert ${ℝ}^n,{ℂ}^n$. Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.

Identità del parallelogramma

Teorema

Siano $x,y\in X$, dove X è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:

$||x+y|{|}^2+||x-y|{|}^2=2(||x|{|}^2+||y|{|}^2)$ (identità del parallelogramma)

Dimostrazione

Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:

$||x+y|{|}^2=<x+y,x+y>=<x,x+y>+<y,x+y>=\overline{<x+y,x>}+\overline{<x+y,y>}$

mentre

$||x-y|{|}^2=<x-y,x-y>=<x,x-y>-<y,x-y>=\overline{<x-y,x>}-\overline{<x-y,y>}$

pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:

$||x+y|{|}^2+||x-y|{|}^2=2<x,x>+2<y,y>=2||x|{|}^2+2||y|{|}^2=2(||x|{|}^2+||y|{|}^2)$

Che è quello che si voleva dimostrare.

Questa proprietà contraddistingue le norme indotte dal prodotto interno, si può dimostrare infatti che:

La norma $||\cdot ||$ soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se:

$<x,y>=\frac{1}{4}[||x+y|{|}^2-||x-y|{|}^2+i(||x+iy|{|}^2-||x-iy|{|}^2)]$

ha le proprietà del prodotto scalare.

Teoremi

Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un $y\in X$ fissato ad ogni $x\in X$ il numero complesso $(x,y)$

Teorema

Per ogni $y\in X$, l'applicazione:

• $x⟶<x,y>$ è lineare e continua.

Inoltre anche $x⟶||x||$ è continua.

Definizione

Se $<x,y>=0$ diciamo che x ed y sono ortogonali e scriviamo che $x\mathrm{\perp }y$, la relazione di ortogonalità è simmetrica.

Definiamo

$x^{\mathrm{\perp }}:=\{y\in X:y\mathrm{\perp }x\}$

Se $M\subset X$ è un sottospazio di $X$ definiamo

$M^{\mathrm{\perp }}=\{y\in X:y\mathrm{\perp }x\mathrm{\forall }x\in M\}$

Uno spazio di Hilbert si dice chiuso se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:

Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\overline{x}$ e $x_n\in M$ implica che $\overline{x}\in M$ allora M si dice chiuso.

Teorema

Se M è un sottospazio di Hilbert H allora $M^{\mathrm{\perp }}$ è un sottospazio chiuso di H.

Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:

Teorema 2.5.8

Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert X contiene un solo elemento di norma minima, $\overline{y}\in E$ tale che $||\overline{y}||=\underset{x\in E}{inf}||x||$

Teorema 2.5.9

Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:

• $P:X⟶M$
• $Q:X⟶M^{\mathrm{\perp }}$

Con le seguenti proprietà:

1. $\mathrm{\forall }x\in Xx=Px+Qx$
2. $\mathrm{\forall }x\in Mx=Px,Qx=0$
   
   $\mathrm{\forall }x\in M^{\mathrm{\perp }}x=Qx,Px=0$
3. $\mathrm{\forall }x\in X||x-Px||=\underset{y\in M}{inf}||x-y||$
4. $||x|{|}^2=||Px|{|}^2+||Qx|{|}^2$

Si dice che P e Q proiettano x sui sottospazi $M\text{ e }{M}^{\mathrm{\perp }}$.

Corollario 2.5.10

Se $M\ne X$ allora $M^{\mathrm{\perp }}$ non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.

Abbiamo mostrato che $<x,y>$ è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.

Teorema 2.5.11

Se L è un funzionale lineare su X, e $\ker L\ne X$, allora:

$\dim (\ker (L){)}^{\mathrm{\perp }}=1$.

Teorema 2.5.12

Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo $y\in X$ tale che:

$Lx=<x,y>,\mathrm{\forall }x\in X$

Insieme ortonormale

Definizione

Un insieme $u_{\alpha }$ di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove $\alpha \in A$ è un indice (discreto o continuo), è detto ortonormale se

$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in A<u_{\alpha },u_{\beta }>={\delta }_{\alpha ,\beta }$

Teorema 2.5.14.

Se $U={\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$ è un insieme ortonormale, ${\left\{u_i\right\}}_{i=1}^k$ un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di U e $x=\sum _{i=0}^k{c}_i{u}_i$ è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora $c_i=<x,u_i>$ e $||x|{|}^2=\sum _{i=1}^k|c_i{|}^2$

Corollario

Dato che $x=0⟺c_i=0\mathrm{\forall }i$ e per ogni sottoinsieme finito ${\left\{u_i\right\}}_{i=1}^k$ ogni insieme ortonormale è indipendente.

Sia $V={\left\{v_i\right\}}_{i=1}^k$ un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:

$\Vert x-\sum _{i=1}^k{c}_i{v}_i\Vert$.

Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il teorema 2.5.9 ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma, $x_0=Px$ e che

$x-x_0\in <V{>}^{\mathrm{\perp }}$

Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:

Teorema 2.5.17

Sia ${\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale in X, e $x\in X$ allora:

$\Vert x-\sum _{i=1}^k<x,u_i>u_i\Vert \le \Vert x-\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{u}_i\Vert$,

e l'uguaglianza vale solo se ${\lambda }_i=<x,u_i>$;

$\sum _{i=1}^k<x,u_i>u_i$

è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato dagli $u_i$,$\delta$ la distanza tra x ed il sottospazio allora

$\sum _{i=1}^k|<x,u_i>{|}^2=||x|{|}^2-{\delta }^2$

Definizione

Sia $U={\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale di vettori di X, ed x appartenente a X. Definiamo

$\tilde{x}(\alpha )=<x,u_{\alpha }>$

come il coefficiente di Fourier del vettore x, rispetto all'insieme U.

Inoltre, se $0\le \varphi (\alpha )\le \mathrm{\infty }$ è una funzione da un insieme di indici A, definiamo:

$\sum _{\alpha \in A}\varphi (\alpha )=sup\{\sum _{i=1}^k\varphi (a_i)|{\left\{a_j\right\}}_{j=1}^k\subseteq A\}$

cioè il sup delle somme su tutti i sottoinsiemi finiti di A.

Teorema 2.5.19

Se $\sum _{\alpha \in A}|\varphi (\alpha )|=K<\mathrm{\infty }$, l'insieme degli elementi $\beta \in A$ per i quali $|\varphi (\beta )|>0$ è al più numerabile.

Teorema (Disuguaglianza di Bessel)

Riferendosi alla definizione data sopra, se $U={\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$ è un insieme ortonormale,

$\sum _{\alpha \in A}|\tilde{x}(\alpha ){|}^2\le ||x|{|}^2$

Definizione

Definiamo l'insieme:

$l^2(A):=\{f:A⟶ℂ:\sum _{\alpha \in A}|f(\alpha ){|}^2<\mathrm{\infty }\}$

Si può dimostrare che definendo somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno come:

• $(f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha )$
• $(\lambda f)(\alpha )=\lambda f(\alpha )$
• $<f,g>:=\sum _{\alpha \in A}f(\alpha )\overline{g(\alpha )}$

questo insieme è uno spazio di Hilbert. Abbiamo notato sopra che ad ogni vettore x di uno spazio di Hilbert H, considerando un insieme ortonormale $U={\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$, corrisponde un elemento $\tilde{x}(\alpha )\in l^2(A)$, grazie alla disuguaglianza di bessel, siamo sicuri che la somma:

$\sum _{\alpha \in A}|\tilde{x}(\alpha ){|}^2<\mathrm{\infty }$.

Ci si può chiedere se questa corrispondenza sia suriettiva, cioè se ogni elemento di $l^2(A)$ cosrrisponda un elemento di H; la risposta è affermativa:

Teorema di Riesz-Fischer

Sia $U={\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale in H. Se $\varphi (\alpha )\in l^2(A)$ allora $\mathrm{\exists }x\in H:\varphi (\alpha )=<x,u_{\alpha }>$.

Definizione

Un insieme ortonormale $U={\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$ si dice massimale, o base Hilbertiana o base ortonormale completa se $\mathrm{\exists }x\in H:x\ne 0$ e $<x,u_{\alpha }>=0\mathrm{\forall }\alpha \in A$

Teorema

Sia $U={\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$ un insieme ortonormale in H. Allora ognuna delle seguenti affermazioni implica le altre tre.

1. ${\left\{u_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}$
2. L'insieme S di tutte le combinazioni lineari finite dei membri :di U è denso in H
3. Per ogni $x\in H$ vale che $||x|{|}^2=\sum _{\alpha \in A}|\tilde{x}(\alpha ){|}^2$
4. Se $x,y\in H$ allora

$<x,y>=\sum _{\alpha \in A}\tilde{x}(\alpha )\overline{\stackrel{~}{y}(\alpha )}$ (uguaglianza di Parseval)

Teorema

Ogni spazio di Hilbert che non sia composto solo dall'elemento 0 ammette una base Hilbertiana.

Definizione

Diciamo che due spazi di Hilbert $H_1,H_2$ sono isomorfi se esiste una applicazione lineare e suriettiva $\mathrm{\Phi }:H_1⟶H_2$ che conservi i prodotti scalari cioè se :

• $x,y\in H_1\Rightarrow <x,y{>}_{H_1}=<\mathrm{\Phi }x,\mathrm{\Phi }y{>}_{H_2}$.

Teorema

Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno basi Hilbertiane della stessa cardinalità

Definizione

Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se esiste una successione di elementi di H, ${\{x_n\in H\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, tale che per ogni $x\in H$ esiste una sottosuccessione $x_{n_k}$ che tende a x.

Teorema

Uno spazio di hilbert H ha una base Hilbertiana al più numerabile se e solo se è separabile.

Teorema

In ogni spazio di Hilbert esiste una base di Hamel B, un insieme $\left\{x_{\alpha }\right\}$, indipendente tale che:

$\mathrm{\forall }x\in Hx=\sum _{i=1}^{N_x}{c}_i{x}_{{\alpha }_i}$.