Analisi complessa/Serie di potenze

Successioni nel campo complesso

Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di $C$.

In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in $C$ e le successioni in $R$.

Successione e Serie

Una successione in $ℂ$ è una funzione $\mathbb{N}\to ℂ$, che indichiamo come un insieme di valori con indice, $z_n$.

• Diciamo che una successione converge a $z$, o che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z$ se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:n>N\Rightarrow |z_n-z|<\epsilon$

• Una serie è una somma infinita

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$

e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali

$s_N=\sum _{n=1}^N{z}_{n}N\in \mathbb{N}$

Teorema 1.5.2.

Sia $z_n=x_n+i{y}_n$ una successione in $ℂ$, e $z=x+iy$ allora

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=y$

In modo analogo, se $S=x+iy$, la serie

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n=S⟺\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n=x$ e $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n=y$

Teorema sulla convergenza assoluta

Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_n|$

converge, allora converge anche

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$.

Serie di potenze

Definizione 1.5.4

Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro $z$, della forma

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

Teorema

Se una serie di potenze

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

converge per $z=z_1\ne z_0$ allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto

$|z-z_0|<R_1=|z_1-z_0|$

Definendo il raggio di convergenza $R$ come il

$\sup |z-z_0|$

tra tutti gli $z$ per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio $R$ centrato in $z_0$, ed in nessun punto all'esterno del cerchio.

Se $R=\mathrm{\infty }$ la serie converge su $C$, se è zero converge soltanto in $z_0$.

Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,

$S(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n(|z-z_0|<R)$

Teorema 1.5.6.

Una serie di potenze con raggio di convergenza $R$ converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio $R^{\prime }<R$ centrato in $z_0$, ed è uniformemente continua entro tale cerchio.

Teorema 1.5.7.

Sia $S(z)$ una serie di potenze definita come sopra, e $C$ un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia $g(z)$ una funzione continua sul percorso $C$. Allora

$\underset{C}{\int }g(z)S(z)dz=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\underset{C}{\int }g(z)(z-z_0{)}^{n}dz$

Teorema 1.5.8.

$S(z)$ è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè

$S^{\prime }(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(z-z_0{)}^{n-1}$

Inoltre

$a_n=\frac{S^{(n)}(z_0)}{n!}$

Teorema 1.5.9 (di Taylor)

Sia $f$ una funzione analitica in un cerchio aperto $|z-z_0|<R$. Allora la serie di potenze definita come

$S(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0{)}^n$

converge a $f(z)$ per ogni punto interno al cerchio.

Tale sviluppo è unico, cioè

$S(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

converge a $f(z)$ solo se i suoi coefficienti sono

$a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

Teorema 1.5.10 (di Laurent)

Sia $f$ una funzione analitica in una corona circolare

$R_1<|z-z_0|<R_2$

e sia $C$ un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui $f$ è analitica.

Allora, in ogni punto del dominio,

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{(z-z_0{)}^n}$

e i coefficienti dello sviluppo valgono

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz{b}_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{-n+1}}dz$

Tale sviluppo è unico.

Prodotto di serie

Definizione

Date due serie $\sum a_n$ e $\sum b_n$ è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come

$\sum _n{c}_n$

con $c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$.

Teorema 1.5.11

Se $f$ e $g$ sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi

$|z-z_f|<R_f$

e

$|z-z_g|<R_g$

rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.