Analisi complessa/Serie trigonometriche

Definizione 2.6.1.

Sia

$𝕋=\{z\in ℂ:|z|=1\}$

il cerchio unitario nel piano complesso; se $F:𝕋\to ℂ$ è una qualsiasi funzione definita su $𝕋$, la funzione definita su $ℝ$ come $f(t)=F(e^{it})$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$. Viceversa, ad ogni funzione periodica su $ℝ$ di periodo $2\pi$ corrisponde una funzione $F$ definita su $𝕋$ .

Definizione 2.6.1

Sia $C(𝕋)$ l'insieme di tutte le funzioni continue definite su $𝕋$ (o equivalentemente delle funzioni su $ℝ$ continue e $2\pi$-periodiche).

Definendo il prodotto interno

$<f,g>=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\overline{g(t)}dt$

$C(𝕋)$ è uno spazio pre-Hilbertiano, ma non è completo. In effetti, $C(𝕋)$ è completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,

$\Vert f\Vert =\underset{t\in [0,2\pi ]}{\sup }|f(t)|$,

che però non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare $C(𝕋)$ come uno spazio con prodotto interno. Per ottenere una struttura Hilbertiana su $𝕋$ è necessario concepire un integrale più generale di quello di Riemann-Stieltjes, e considerare l'insieme delle funzioni al quadrato integrabile,$L^2\left(𝕋\right)$, con prodotto scalare

$<f,g>=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\overline{g(t)}dt$

si può dimostrare che questo spazio è completo.

Polinomi trigonometrici

Definizione 2.6.2

Consideriamo gli insiemi ortonormali in $C(𝕋)$,

${\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos kx,\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sin kx\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }{e}^{inx}}\right\}}_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$

definiamo quindi i polinomi trigonometrici come le combinazioni lineari finite di elementi delle due basi, rispettivamente

$P_N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{a}_0+\sum _{k=1}^N(a_k\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi }}+b_k\frac{\sin kx}{\sqrt{\pi }})P_N(x)=\sum _{n=-N}^N{c}_n\frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi }}$

I polinomi trigonometrici sono densi in $C(𝕋)$, sia considerando la convergenza uniforme che la convergenza in norma due.Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti sono sistemi ortonormali massimali; anche i polinomi trigonometrici a coefficienti razionali (che sono numerabili) sono densi in $L^2(𝕋)$, ne segue che $L^2(𝕋)$ è separabile.

Corollario 2.6.4

Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione $f\in L^2(𝕋)$ definiamo i suoi coefficienti di Fourier

$\hat{f}(n)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\frac{e^{-int}}{\sqrt{2\pi }}dt$

allora vale l'uguaglianza di Parseval

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\overline{g(t)}dt=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}$

e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi $\left\{c_n\right\}$ sommabile in modulo quadro vi è una funzione in $L^2(𝕋)$ per la quale

$c_n=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\frac{e^{-int}}{\sqrt{2\pi }}dt$.