Analisi complessa/Spazi metrici

Spazi metrici

Definizione 2.2.1

Un insieme $X\ne \mathrm{\varnothing }$, assieme ad una funzione distanza

$d:X^2\to ℝ$

è uno spazio metrico, e si indica con la coppia (X,d) se per ogni $x,y,z\in X$ sono verificate le seguenti proprietà:

1. $d(x,y)\ge 0$
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (simmetria)
3. $d(x,y)=0⟺x=y$
4. $d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z)$ (disuguaglianza triangolare)

La distanza induce una topologia di aperti, e di conseguenza è possibile definire un concetto che ritorna spesso in analisi matematica e topologia:

Definizione

Si dice intorno di un punto $x\in X$ l'insieme $N_r(x)=\{y\in X|d(x,y)<r\}$.

Osservate che, dato un punto $x_0\in X$, l'intorno di raggio r centrato in $x_0$ è l'insieme dei punti che distano r dal punto $x_0$.

TEOREMA 2.2.2.

Dalla disuguaglianza triangolare si ricava immediatamente che

$d(x,y)-d(x,z)\le d(y,z)$

Successioni

Definizione 2.2.3.

Una funzione $a:\mathbb{N}\to X$ si dice successione in $X$, ed i suoi elementi si indicano come $a_n$. È una legge che associa ad ogni numero naturale, un elemento dell'insieme X

Successione convergente

• Si dice che una successione $a_n$ converge ad un valore $\alpha \in X$ se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:n>N\Rightarrow d(a_n,\alpha )<\epsilon$,

cioè se $\alpha$ è il limite della successione rispetto alla distanza $d$.

Successione di Cauchy

• Una successione la quale

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:n,m>N\Rightarrow d(a_n,a_m)<\epsilon$

si dice successione di Cauchy;

Definizione

Uno spazio metrico nel quale ogni successione di Cauchy è convergente si dice completo.

Insieme denso

Un insieme $Y$ si dice denso nello spazio metrico $X$ se $Y\subseteq X$ e $\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }{N}_r(x):N_r(x)\cap Y\ne \mathrm{\varnothing }$.

Teorema

Ogni spazio metrico ammette un completamento: dato uno spazio metrico $(X,d)$ esiste sempre uno spazio metrico completo $(\tilde{X},\tilde{d})$, ed una mappa

$\mathrm{\Phi }:X\to \tilde{X}$

con le seguenti proprietà:

• $\mathrm{\Phi }$ è iniettiva;
• $d(x,y)=\tilde{d}(\mathrm{\Phi }(x),\mathrm{\Phi }(yz))$;
• $\mathrm{\Phi }(X)$ è denso in $\tilde{X}$

Definizione 2.2.5

Una funzione

$f:X\to X$

definita su uno spazio metrico è una contrazione se per ogni $x,y\in X$ è verificata la disuguaglianza

$d(f(x),f(y))\le kd(x,y)$

con $0<k<1$.

Teorema del punto fisso

Teorema 2.2.6 o del punto fisso

Se $(X,d)$ è uno spazio metrico completo e se $f$ è una contrazione su $X$, allora

$\mathrm{\exists }!\overline{x}\in X:f(\overline{x})=\overline{x}$

Serie di funzioni

Consideriamo in questo paragrafo le funzioni definite tra due spazi metrici,

$f:(X,d)\to (Y,h)$

Definizione 2.2.7.

Diremo che la successione di funzioni $f_n$ converge puntualmente ad $f$ se

$\mathrm{\forall }x\in X,\epsilon >0\mathrm{\exists }N(x,\epsilon ):n>N\Rightarrow h(f_n(x),f(x))<\epsilon$.

Diremo che una successione converge uniformemente se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon ):n>N\Rightarrow h(f_n(x),f(x))<\epsilon$ per ogni $x\in X$.

L'importante differenza rispetto al caso precedente è che qui è possibile trovare un $N$ valido per tutti gli $x$.

Teorema 2.2.8

Nel caso di funzioni da uno spazio metrico $X$ a $ℂ$, una serie di funzioni $f_n$ converge uniformemente a $f$ se e solo se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:n>N\Rightarrow \underset{x\in X}{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon .$

Mentre la convergenza puntuale non comunica alla funzione limite le proprietà eventualmente possedute dalle funzioni della successione, la convergenza uniforme ne trasmette alcune; in particolare si ha che

Teorema 2.2.9

Il limite uniforme di funzioni continue è continuo.