Analisi matematica/Derivata

Derivata e differenziale della funzione y=f(x)

1) Una funzione $y=f(x)$ si dice derivabile nel punto $P=[c,f(c)]$ se esiste determinato il limite del rapporto incrementale calcolato nel punto stesso quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero, cioè se esiste il limite:

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

il quale limite si dice derivata di $f(x)$ per $x=c.$

Se il limite suddetto esiste per ogni valore $x$ di un intervallo $(a,b)$ si pone:

$f^{\prime }(x)=Df(x)=\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x),$

funzione che rappresenta la derivata di $f(x)$ in tutto$(a,b).$

'esempio'

Se $y=senx,$

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}=\frac{2sen\frac{h}{2}cos(x+\frac{h}{2})}{h},$ e

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}[\frac{sen\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}cos(x+\frac{h}{2})]=cosx$

onde $:Dsenx=cosx.$

2) Una funzione $y=f(x)$ si dice differenziabile nel punto $P=[c,f(c)]$ se il suo incremento $\mathrm{\Delta }y$ calcolato nel punto $P$ si può esprimere nel seguente modo:

$\mathrm{\Delta }y=Ah+\epsilon h,$

essendo $A$ una quantità finita ed $\epsilon$ una quantità che tende a zero con $h.$

Se la precedente relazione vale in tutto $(a,b)$ la $f(x)$ si dice differenziabile in $(a,b).$ Il primo termine del 2° menmbro si dice diferenziale della funzione e si scrive: $dy=Ah=f^{\prime }(x)h=f^{\prime }(x)dx$ da cui la relazione: $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$.

Regole di derivazione

1. derivata di una somma o differenza

   $\frac{d(u\pm v)}{dx}=\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}$

2. derivata di un prodotto

   $\frac{d(uv)}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$

3. derivata di un quoziente

   $\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

4. derivata di funzione di funzione

   ${\displaystyle }$

5. derivata della funzione inversa di y=f(x)

   $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}},se\frac{dy}{dx}\ne 0<,$ cioè se la funzione data è invertibile nell'intervallo in cui si considera.

6. derivata di cf(x)

   $\frac{d[cf(x)]}{dx}=c\frac{df}{dx}$

7. derivazione per serie

   Se una serie $\sum _{}^{}{u}_n(x)$ di funzioni continue è convergente in un intervallo (a,b), se le derivate $u{\text{'}}_n(x)$ sono continue e la serie $\sum _{}^{}u{\text{'}}_n(x)$ è uniformemente convergente in (a,b), si ha:

   $\frac{ds(x)}{dx}=\sum _i^{}u{\text{'}}_{n_i}(x),$

   essendo $s(x)$ la somma della serie data.

Derivate fondamentali

1. $\frac{dc}{dx}=0$
2. $\frac{dx}{dx}=1$
3. $\frac{d{x}^m}{dx}=m{x}^{m-1}$
4. $\frac{d[f(x){]}^m}{dx}=m[f(x){]}^{m-1}\frac{df}{dx}$
5. $\frac{d{\sqrt[n]{x}}^m}{dx}=\frac{m}{n}{\sqrt[n]{x}}^{(m-n)};\frac{d}{}$

Derivate e differenziali di ordine n

1. $\frac{d^{n}f(x)}{d{x}^n}=\frac{d}{dx}[\frac{d^{n-1}f(x)}{d{x}^{n-1}}];d^{n}f=\frac{d^{n}f}{d{x}^n}(dx{)}^n.$
2. $\frac{d^n(u\pm v)}{d{x}^n}=\frac{d^{n}u}{d{x}^n}\pm \frac{d^{n}v}{d{x}^n}$

Derivate e differenziali di una funzione z=f(x,y)

1. derivate parziali prime

   $\frac{\delta f}{\delta x}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=f{\text{'}}_x$

   $\frac{\delta f}{\delta y}=\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=f{\text{'}}_y$

2. derivate parziali seconde

   $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x});\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y})$

   $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x});\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y});$

   $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},$

   cioè le derivate seconde miste sono uguali.

3. derivate di una funzione $z=f(x,y)$ composta mediante le funzioni: $x=\varphi (t),y=\psi (t)$

   $\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt},$

4. derivata secondo la direzione di coseni direttori $\alpha$ e $\beta$ nel piano, e $\alpha ,\beta ,\gamma$ nello spazio:

   $\underset{\mathrm{\Delta }r\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }r}=\frac{df}{dr}=\frac{\partial f}{\partial x}\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\beta ;\underset{\mathrm{\Delta }r\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }r}=\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\beta +\frac{\partial f}{\partial z}\gamma ,$

   essendo $\mathrm{\Delta }r$ la distanza di due punti posti sopra una retta parallela alla distanza data.

5. differenziali totali di $z=f(x,y):$

   $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial x}dy;d^{n}f=(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy{)}^{(n)},$

   dove $(n)$ è un esponente simbolico e cioè va inteso come ordine di derivazione per le derivate e come esponente per $dx$ e$dy.$

6. Un'espressione: $A(x,y)dx+B(x,y)dy$ si dice differenziale esatto se è il differenziale totale di una $f(x,y)$, cioè se:

   $A(x,y)dx+B(x,y)dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

   per il che è necessario e sufficiente che sia verificata la condizione: $\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$

Formule e regole fondamentali del calcolo differenziale

1. formula del valore medio per una funzione y=f(x) differenziabile nell'intervallo (x,x+h):

   $f(x+h)-f(x)=h{f}^{\prime }(x+\theta h)$

   con $(0<\theta <1)$

2. formula del valore medio per una funzione z=f(x,y) differenziabile in un campo C contenente il punto (x,y):

   $f(x+h,y+k)-f(x,y)=hf{\text{'}}_x(x+\theta h,y+\theta k)+kf{\text{'}}_y(x+\theta h,y+\theta k)$

   con $(0<\theta <1)$

3. formula di Cauchy per due funzioni f(x) e g(x) differenziabili nell'intervallo (x,x+h) e con g'(x)≠0

   $\frac{f(x+h)-f(x)}{g(x+h)-g(x)}=\frac{f^{\prime }(x+\theta h)}{g^{\prime }(x+\theta h)}$

   con $(0<\theta <1$

4. formula di Taylor e di Mac-Laurin per una funzione f(y) differenziabile almeno fino all'ordine n:
   1. $f(x+h)=f(x)+\frac{h}{1}{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2!}{f}^{″}(x)+\mathrm{...}+\frac{h^n}{n!}{f}^{(n)}(x+\theta h)$
   2. $f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}{f}^{\prime }(0)+\frac{x^2}{2!}{f}^{″}(0)+\mathrm{...}+\frac{x^n}{n!}{f}^{(n)}(\theta x)$

      L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con $R_n$ e può assumere le seguenti forme:

      • $R_n=\frac{n^n}{n!}{f}^{(n)}(x+\theta h)(formadiLagrange)$
      • $R_n=\frac{h^n(1-\theta {)}^{(n-p)}{f}^{(n)}(x+\theta h)}{p(n-1)!}(formadiSchlomisch)$
      • $R_n=\frac{h^n(1-\theta {)}^{n-1}{f}^{(n)}(x+\theta h)}{(n-1)!}(formadiCauchy)$

5. formule di Taylor e di Mac-Lorin per una funzione z=f(x,y) differenziabile fino all'ordine n:
6. regola di Hopital per le forme indeterminate:
   1. Se il rapporto $\frac{f(x)}{\varphi (x)}$ per x=c si presenta nelle forme:

      $\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},allora:\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{{\varphi }^{\prime }(x)}$

      e se il limite del secondo membro esiste, e in caso contrario:

      $\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{(n)}(x)}{{\varphi }^{(n)}(x)}$

   essendo n il $Inserisciquiunaformula$primo ordine delle derivate per le quali il limite del 2° membro esiste.

   • Le forme indeterminate del tipo $0\cdot \mathrm{\infty },\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },$ si riconducono al caso a) mediante le trasformazioni:

     $f(x)\cdot \varphi (x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{\varphi (x)}}f(x)-\varphi (x)=[\frac{1}{\varphi (x)}-\frac{1}{f(x)}]:\frac{1}{f(x)\varphi (x)}$

   • Le forme indeterminate del tipo $1^{\mathrm{\infty }},{\mathrm{\infty }}^0,0^0$ si riconducono ai casi precedenti ricorrendo ai logaritmi e precisamente se

     $\underset{x\to c}{lim}\log f(x{)}^{\varphi (x)}=\underset{x\to c}{lim}\varphi (x)\log f(x)=lallora\underset{x\to c}{lim}f(x{)}^{\varphi (x)}=e^l$

7. formule di eulero sulle funzioni omogenee:

   Se una funzione $z=f(x,y)$ è omogenea, cioè tale che:

   $f(kx,ky)=k^{\alpha }f(x,y),$

   essendo $\alpha$ il grado di omogeneità, valgono per essa le relazioni:

   a) $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=\alpha f;$

   b) $(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}{)}^{(2)}=\alpha (\alpha -1)f$

   ....................

   c) $(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}{)}^{(r)}=\alpha (\alpha -1)\mathrm{...}(\alpha -r+1)f.$

8. sulla ricerca delle radici di un'equazione: f(x)=0

   a) Fra due radici di $f(x)=0$ esiste almeno una radice di $f^{\prime }(x)=0;$

   b) condizione necessaria e sufficiente perché $\alpha$ sia radice multipla di ordine $r$ di $f(x)=0$ è che si abbia: $f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=\mathrm{...}=f^{(r-1)}(\alpha )=0,$ o $f^{(r)}\ne 0.$