Analisi matematica/Determinanti e matrici

Definizione di matrice

Si definisce matrice una tabella di $n\times m$ numeri reali (o complessi), disposti su n righe e m colonne, dove con il termine:

• riga intendiamo le righe orizzontali
• colonna intendiamo invece le righe verticali

Una matrice si presenterà nella forma più generica come:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,m}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,m}\end{array}\right]$

nel qual caso il numero di righe è n, mentre quello delle colonne è m. Solitamente per denominare le matrici si usano le lettere maiuscole latine.

• I numeri che riempiono una matrice vengono detti elementi ognuno dei quali occupa una posizione ben precisa. Un generico elemento è denotato con $a_{i,j}$, dove la coppia di indici i,j indicano rispettivamente l'i-esima riga e la j-esima colonna e determinano univocamente la posizione dell'elemento nella matrice.
• La dimensione di una matrice che ha n righe e m colonne è $n\times m$

Esempio

Sia A la seguente matrice:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 3\end{array}\right]$

In questo caso la dimensione di A è $2\times 2$ in quanto vi sono 2 righe e 2 colonne, inoltre:

L'elemento $a_{1,1}=1$ perché 1 si trova all'incrocio della prima riga e la prima colonna

L'elemento $a_{1,2}=2$ perché 2 si trova all'incrocio della prima riga e la seconda colonna

L'elemento $a_{2,1}=3$ perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la prima colonna

L'elemento $a_{2,2}=3$ perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la seconda colonna

Determinanti

Determinante di 2° ordine

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right|=a{b}^{\prime }-a^{\prime }b$

Determinante di 3° ordine

$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a^{\prime }& b^{\prime }& c^{\prime }\\ a^{″}& b^{″}& c^{″}\end{array}\right|=a(b^{\prime }{c}^{″}-c^{\prime }{b}^{″})-b(a^{\prime }{c}^{″}-c^{\prime }{a}^{″})+c(a^{\prime }{b}^{″}-b^{\prime }{a}^{″})$

Determinante di 4° ordine

(regola di sviluppo di Laplace):

$\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ a^{\prime }& b^{\prime }& c^{\prime }& d^{\prime }\\ a^{″}& b^{″}& c^{″}& d^{″}\\ a^{‴}& b^{‴}& c^{‴}& d^{‴}\end{array}\right|=$

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{c}^{″}& d^{″}\\ c^{‴}& d^{‴}\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a^{″}& b^{″}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{c}^{\prime }& d^{\prime }\\ c^{‴}& d^{‴}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a^{‴}& b^{‴}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}{c}^{\prime }& d^{\prime }\\ c^{″}& d^{″}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ a^{″}& b^{″}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}c& d\\ c^{‴}& d^{‴}\end{array}\right|-$

$\left|\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ a^{‴}& b^{‴}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}c& d\\ c^{″}& d^{″}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}^{″}& b^{″}\\ a^{‴}& b^{‴}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}c& d\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right|.$

Determinante di ordine n

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}...& a_{2n}\\ ..& ..& ..\\ a_{n1}& a_{n2}...& a_{nn}\end{array}\right|=a_{r1}{A}_{r1}+a_{r2}{A}_{r2}+.....+a_{rn}{A}_{rn},$

dove $A_{rs}$ è il determinante di ordine $n-1$, ottenuto dal dato colla soppressione della orizzontale $r^{ma}$ e della verticale $s^{ma},$ preso col segno $(-1{)}^{r+s};$ il determinante $A_{rs}$ si dice complemento algebvrico o aggiunto di $a_{rs}.$

Se $s\ne r$ si ha:

$a_{s1}{A}_{r1}+a_{s2}{A}_{r2}+....+a_{sn}{A}_{rn}0=,$

(sviluppo di un determinante con due line uguali il cui valore è 0).

Determinante di Vandermonde

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1....& 1\\ a_1& a_2....& a_n\\ a_1^2& a_2^2....& a_n^2\\ ..& ..& ..& \\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}....& a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{(r>s)}(a_r-a_s)con\{\begin{array}{c}r=2,3,..n\\ s=1,2,..n-1\end{array}$

Questo determinante è diverso da $0$ se i numeri $a_1,a_2,..a_n$ sono differenti.

Determinante reciproco

$\mathrm{\nabla }=\left|\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}.....& A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}.....& A_{2n}\\ ..& ..& ..\\ A_{n1}& A_{n2}.....& A_{nn}\end{array}\right|=D^{n-1}$

essendo $D$ il determinante dato.

Prodotto di due determinanti di ordine n

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}....& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}....& a_{2n}\\ ..& ..& ..\\ a_{n1}& a_{n2}....& a_{nn}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}....& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}....& b_{2n}\\ ..& ..& ..\\ b_{n1}& b_{n2}....& b_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}....& c_{1n}\\ c_{21}& c22....& c_{2n}\\ ..& ..& ..\\ c_{n1}& c_{n2}....& c_{nn}\end{array}\right|$

dove: $c_{rs}=a_{r1}{b}_{s1}+a_{r2}{b}_{s2}+....+a_{rn}{b}_{sn},$

cioè: $c_{rs}$ risulta dalla moltiplicazione della $r^{ma}$ orizzontale del $1^0$ per la $s^{ma}$ del $2^0$

Il prodotto però può pure eseguirsi per verticali fra loro oppure anche con orizzontali per verticali o viceversa.

Rango di una matrice

Data la matrice:

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ......& ....& .....& ........\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right|$

si dice rango l'ordine massimo dei determinanti diversi da zero contenuti nella matrice. Date m forme lineari: a_r1x₁+a_r2x₂+...+a_rnx_n=U_r con r=1,2...m, la carsatteristica della matrice dei coefficienti dà il numero di tali forme linearmente indipendenti.

esempio: Il rango della seguente matrice quadrata è 2.

$\left|\begin{array}{ccc}5& 8& 7\\ 13& 11& -2\\ 18& 19& 5\end{array}\right|$

Notare che in questo caso la matrice contiene un determinante di terzo ordine che è zero, nove determinanti di secondo ordine non nulli, e nove determinanti di primo ordine (elementi). Template:Avanzamento