Analisi matematica/Equazioni a coefficienti reali

Algebriche razionali intere

Algebriche razionali intere di 1° grado

$ax+b=0;x=-\frac{b}{a};$

determinata se $a\ne 0;$ indeterminata se $a=b=0;$ impossibile se $a=0,b\ne 0.$

Algebriche razionali intere di 2° grado

$a{x}^2+bx+c=0;$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},ovvero:x=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}(k=\frac{b}{2});$

le due radici sono reali distinte se $b^2-4ac>0,$

le due radici sono reali coincidenti se $b^2-4ac=0,$

le due radici sono complesse coniugate se $b^2-4ac<0.$

Algebriche razionali intere di 3° grado

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

a) Ponendo $x=y-\frac{b}{3a}$, l'equazione si trasforma nella seguente trinomia:

$y^3+py+y=0$

da cui $:y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

(formula risolutiva Cardanica)

se $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}>0$, una radice è reale e due complesse coniugate,

se $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=0$, una radice è reale semplice e una doppia,

se $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$, le tre radici sono reali e distinte.

In quest'ultimo caso le tre radici si possono calcolare agevolmente in forma trigonometrica. Ponendo:

$\frac{-q}{2}+i\sqrt[2]{-(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27})}=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$

$\frac{-q}{2}-i\sqrt[2]{-(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27})}=\rho (\cos \theta -i\sin \theta )$

dove:

$\rho =\sqrt[2]{\frac{-p^3}{27}}\cos \theta =\frac{-q}{2\rho }\theta =arc\cos (\frac{-q}{2\rho })$

si ha allora:

${\alpha }_1=\sqrt[3]{\rho }(\cos \frac{\theta }{3}+i\sin \frac{\theta }{3}),{\beta }_1=\sqrt[3]{\rho }(\cos \frac{\theta }{3}-i\sin \frac{\theta }{3});$

${\alpha }_2=\sqrt[3]{\rho }(\cos \frac{\theta +2\pi }{3}+i\sin \frac{\theta +2\pi }{3}),z)$

b) Si può determinare per tentativi o con approssimazioni successive il valore di una radice servendosi dell'osservazione:

se

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

e $f(a)=k^2,$ $f(b)=-h^2,$ fra $a$ e $b$ cade almeno una radice. Nota una radice $m$ le altre si ottengono uguagliando a $0$ la frazione $\frac{f(x)}{x-m}$, che è di 2° grado in $x$.

In particolare le equazioni reciproche:

$a{x}^3+b{x}^2\pm bx\pm a=0$

ammettono la radice $x=\mp 1;$ le altre due radici si ottengono risolvendol'equazione:

$a{x}^2+(b\mp a)x+a=0.$

c) L'equazione $x^3+px+q=0$ alla quale può sempre ridursi un'equazione completa di 3° grado, si può infine risolvere graficamente coi metodi della Geometria Analitica: se si pone

$y=x^3$

le radici cercate sranno le ascisse dei punti comuni alla parabola cubica: $y=x^3$ ed alla retta: $y+px+q=0.$.

Algebriche razionali intere di 4° grado

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+c=0.$

Ponendo $x=y-\frac{b}{4a}$ l'equazione si trasforma nella seguente

$y^4+p{x}^2+qy+r=0.$

Se $q=0,$ essa è biquadratica e si risolve con la posizione: $y^2=z.$

Se $q\ne 0,$ ponendo: $y=u+v+w,$ $u^2,v^2,w^2$ trisultano radici dell'equazione cubica:

$z^3+\frac{p}{2}{z}^2+(\frac{p^2}{16}-\frac{r}{4})z-\frac{q^2}{64}=0.$

Se $\gamma ,\mu ,\ni$ sono le radici di questa equazione, si ha:

$u=\pm \sqrt[2]{\gamma };v=\pm \sqrt[2]{\mu };w=\pm \sqrt[2]{\nu }.$

Si sceglieranno poi tre fra i valori di $u,v,w$ in modo che si abbia:

$uvw=-\frac{q}{8},$

e se $\sqrt[2]{\gamma },\sqrt[2]{\mu },\sqrt[2]{nu}$ sono tali valori, le quattro radici dell'equazione sono date dalle espressioni:

$y_1=\sqrt[2]{\gamma }+\sqrt[2]{\mu }+\sqrt[2]{\nu },y_2=\sqrt[2]{\gamma }-\sqrt[2]{\mu }-\sqrt[2]{\nu },$

$y_3=-\sqrt[2]{\gamma }+\sqrt[2]{\mu }-\sqrt[2]{\nu },y_4=-\sqrt[2]{\gamma }-\sqrt[2]{\mu }+\sqrt[2]{\nu }.$

L'equazione può avere 4 radici reali; 2 reali e 2 immaginarie; 4 immaginarie; i tre casi dipendono dalla natura delle radici dell'equazione cubica in $z.$

Algebriche razionali fratte

Sono le equazioni del tipo:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=0$

essendo P eQ polinomi in x. Si riducono intere, moltiplicando i due membri per Q(x).

Sono importanti i seguenti principi:

1. se si moltiplicano primo e secondo membro di un'equazione A=B per una funzione intera M dell'incognita o delle incognite, l'equazione MA=MB ha certamente per soluzione tutte le soluzioni dell'equazione A=B ma può averne anche altre e precisamente quella della M=0;
2. se P(x) e Q(x) sono polinomi in x primi fra loro, le equazioni

$\frac{P(x)}{Q(x)}=0eP(x)=0$

sono equivalenti.

Algebriche irrazionali

L'equazione: $f(x,\sqrt[n]{\varphi (x)})=0$, essendo f e φ simboli di funzioni razionali, si rende razionale isolando la parte irrazionale ed elevando i due membri ad n. Se nell'equazione figurano più radicali occorre in generale elevare più volte all'indice n e spesso usare artifici. L'equazione razionale che si ottiene non è in generale equivalente alla data.

Equazioni trascendenti notevoli

a) Esponenziale monomia: $b^{f(x)}=a,$ essendo $f(x)$una funzione algebrica. Essa si trasforma nell'equazione algebrica:

$f(x)=lo{g}_{b}a=\frac{Loga}{Logb}=\frac{loga}{logb}$

b) Esponenziale trinomia: $a{k}^{2x}+b{k}^x+c=0.$

Ponendo: $y=k^x,$ da cui $x={\log }_{k}y,$ essa diventa algebrica di 2° grado in $y.$

c) Logaritmica: ${\log }_{b}f(x)\pm {\log }_b\varphi (x)=a$.

Se $f(x)$ e $\varphi (x)$ sono funzioni algebriche, esse si trasformano nelle equazioni algebriche:

$f(x)\varphi (x)=b^a\frac{f(x)}{\varphi (x)}=b^a.$

d) Trigonometrica lineare in $\sin x,\cos x:$

$a\sin x+b\cos x=c.$

con la trasformazione: $\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}},\cos x=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$

l'equazione diventa algebrica in $\tan \frac{x}{2}.$

e) Trigonometrica omogenea di 2° in $\sin x,\cos x:$

$a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$

Dividendo per ${\cos }^{2}x,$ l'equazione diventa algebrica in $\tan x;$ a questo tipo di equazione può pure ridursi l'equazione:

$a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=d,$

ponendo: $d=d({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x).$

f) Trigonometrica razionale intera in $\tan x,\cot x:$ $f(\tan x,\cot x)=0.$

Si riduce algebrica razionale intera in $\tan x$ ponendo:

$\cot x=\frac{1}{\tan x}.$