Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine

Equazioni a variabili separabili

Forma tipica:

$A(x)B(y)dx+C(x)D(y)dy=0ovvero:\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$.

Soluzione: Si dividono i due membri per il prodotto $C(x)B(y)esiha{l}^{\prime }equazione:$

$\frac{A(x)}{C(x)}dx+\frac{D(y)}{B(y)}dy=0$

che è a variabili separate, basta quindi integrare separatamente i due termini (eseguire le quadrature) e cioè scrivere:

$\int \frac{A(x)}{C(x)}dx+\int \frac{D(y)}{B(y)}dy=c$

Esempi:

$xydx+\sqrt{1-x^2}dy=0$

Si dividono i due membri per: $y\sqrt{1-x^2}esiha:$

$\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{dy}{y}=0$

da cui, integrando:

$-\sqrt{1-x^2}+\lg y=c\log y=\sqrt{1-x^2}+c$

$y=C{e}^{\sqrt{1-x^2}}$

funzione che dà l' integrale generale.

Equazione esatta

Forma tipica

$A(x,y)dx+B(x,y)dy=0$

con la condizione: $\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}$

Soluzione: Si considera $y$ costante e si pone l'integrale generale nella forma:

$u(x,y)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}A(x,y)dx+\phi (y),$

si determina poi la funzione $\phi (y)$ con la condizione:

$\frac{\partial u}{\partial y}=B(x,y)ovvero:$

$B(x,y)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{\partial A}{\partial y}dx+{\phi }^{\prime }(y)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{\partial B}{\partial x}dx+{\phi }^{\prime }(y)$

Da cui:

${\phi }^{\prime }(y)=B(x_0,y)e\phi (y)=\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}B(x_0,y)dy.$

Si ha così la formula risolutiva:

$u(x,y)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}A(x,y)dx+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}B(y_0,y)dy=C$

Esempio: $(x+y)dx+(x+Sin[y])dy=0$

L'equazione è esatta, perché: $\frac{\partial (x+y)}{\partial y}=\frac{\partial (x+Sin[y])}{\partial x}=1$

Si ha quindi:

$(1)u(x,y)=\underset{x_o}{\overset{x}{\int }}(x+y)dx+\phi (y)=\frac{x^2}{2}+xy-(\frac{x_o^2}{2}+x_{o}y)+\phi (y)$

con la condizione: $\frac{\partial u}{\partial y}=\underset{x_o}{\overset{x}{\int }}\frac{\partial (x+Sin[y])}{\partial x)}dx+{\phi }^{\prime }(y),$

cioè: $x+Sin[y]=x+Sin[y]-(x_o+Sin[y])+{\phi }^{\prime }(y)$

da cui si trae: ${\phi }^{\prime }(y)=x_o+Sin[y],$

ovvero integrando: $\phi (y)=x_{o}y-Cos[y]-(x_o{y}_o-Cos[y_o]).$

Sostituendo in (1) si trova infine:

$u(x,y)=\frac{x^2}{2}+xy-Cos[y]-(\frac{x_o^2}{2}+x_o{y}_o-Cos[y_o]),$

onde l'integrale generale dell'equazione è:

$\frac{x^2}{2}+xy-Cos[y]-(\frac{x_o^2}{2}+x_o{y}_o-Cos[y_o])=C.$

Equazioni riducibili esatte ossia per le quali esiste un fattore integrante

Caso a

Forma tipica: $Adx+Bdy=0$

Essendo: $A(x,y)eB(x,y)$ funzioni omogenee e $Ax+By\ne 0;$ il fattore integrante è:$\frac{1}{Ax+By}.$

(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per $Ax+By$, e si ottiene così una equazione esatta che si

risolve come è stato indicato per il $2do$ tipo.

(II°) metodo di soluzione: Si pone: $y=t$, onde $dy=tdx+xdt$ e l'equazione data diventa:

$\frac{tdx+xdt}{dx}=f(1,t)$ da cui, separando le variabili: $\frac{dx}{x}=\frac{dt}{f(1,t)-t}$

e integrando: $\log cx=\underset{}{\int }\frac{1}{f(1,t)-t}dt.$

Esempio: $2xydx+(y^2-x^2)dy=0$

Risolvendo rispetto a y' si ha:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^2-y^2},ovvero\frac{dy}{dx}=\frac{2\frac{y}{x}}{1-(\frac{y}{x}{)}^2}(y\ne x)$

Poniamo: $y=tx$ onde: $dy=tdt+xdt$ e l'equazione diviene:

$\frac{tdx+xdt}{dx}=\frac{2t}{1-t^2}ovvero:\frac{dx}{x}=\frac{1-t^2}{t+t^2}dt$.

Integrando si ottiene: $Cx=\frac{xy}{x^2+y^2}$ ovvero: $C(x^2+y^2)=y$ che è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y.

Caso b

Forma tipica: $f(xy)ydx+g(xy)xdy=0$

Fattore integrante: $\frac{1}{Ax-By},essendoAx-By\ne 0$

Esempio: $(x^2{y}^2+xy)ydx+(x^2{y}^2-1)xdy=0,$

Fattore integrante: $\frac{1}{x^2{y}^2+xy}.$

Dividendo l'equazione per $x^2{y}^2+xy$ si ha:

$ydx+(x-\frac{1}{y})dy=0,$ che è una equazione esatta.

Integrando si ottiene: $xy+logC=logy$ da cui l'integrale generale:

$y=C{e}^{xy}.$

Caso c

Forma tipica: $Adx+Bdy=0\frac{1}{B}(\frac{\partial A}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial x})=f(x)$

Quando: $\frac{1}{B}(\frac{\partial A}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial x})=f(x)$

Fattore integrante: $\rho =e^{\underset{}{\overset{}{\int }}f(x)dx}.$

Esempio: $(x^2+y^2+2x)dx+2ydy=0$

Si ha: $\frac{1}{B}(\frac{\partial A}{\partial y}-\frac{\partial B}{\partial y})=\frac{1}{2y}2y=1$

onde il fsattore integrante è: $\rho =e^{\underset{}{\overset{}{\int }}dx}=e^x.$

Si deduce quindi l'equazione esatta:

$e^x(x^2+y^2+2x)dx+2e^{x}ydy=0,$

da cui integrando si ha: $e^x(x^2+y^2)=C.$

Caso d

Forma tipica: $Adx+Bdy=0\frac{1}{A}(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial x})=\phi (y)$

Quando: $\frac{1}{A}(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y})=\phi (y),$

Fattore integrante: $\rho =e^{\underset{}{\overset{}{\int }}\phi (y)dy}$

Esempio: $y^{2}dx+(xy+1)=0$

Si ha: $\frac{1}{A}(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y})=-\frac{1}{y},$

onde il fattore integrante è: $\rho =e^{\underset{}{\overset{}{\int }}-\frac{1}{y}dy}=\frac{1}{y}.$

Dividendo quindi l'equazione per y, si ha l'equazione esatta:

$ydx+(x+\frac{1}{y})dy=0,$

il cui integrale generale è:

$xy+logy=C.$