Analisi matematica/Equazioni lineari

Caso a, forma omogenea: $\frac{dy}{dx}+a(x)y=0,$

Si separano subito le variabili; $\frac{dy}{y}+a(x)dx=0,$

onde:

$logy=-\underset{}{\overset{}{\int }}a(x)dx+C,y=C{e}^{-\underset{}{\overset{[}{\int }}adx}$

Caso b, forma completa: $\frac{dy}{dx}+a(x)y+b(x)=0,$

Si pone: $y=\gamma e^{-\underset{}{\overset{adx}{\int }}}$ (\gamma essendo una funzione di xda determinarsi), cioè si

cerca un integrale particolare dell'equazione completa, onde:

$y^{\prime }={\gamma }^{\prime }{e}^{-\underset{}{\overset{}{\int }}adx}-a\gamma e^{-\underset{}{\overset{}{\int }}adx},$

si sostituisce nell'equazione e si ha:

${\gamma }^{\prime }{e}^{-\underset{}{\overset{}{\int }}adx}+b=0onde{\gamma }^{\prime }=-b{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}adx},\gamma =-\underset{}{\overset{}{\int }}b{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}adx}dx,$

onde l'integrale generale si ottiene addizionando all'integrale generale dell'equazione omogenea questo integrale

particolar della completa, cioè:

$y=e^{-\underset{}{\overset{}{\int }}adx}(-\underset{}{\overset{}{\int }}b{e}^{\underset{}{\overset{}{\int }}adx}dx$

Esempio $\frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}-x^3=0$

a) Integrale dell'equazione omogenea:

$\frac{dy}{dx}=-2\frac{y}{x},\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x},log\frac{y}{C}=-2logx,y=\frac{C}{x^2}$

b) Integrale particolare dell'equazione completa:

$y=\frac{\gamma }{x^2},y^{\prime }=\frac{{\gamma }^{\prime }}{x^2}-\frac{2\gamma }{x^3},{\gamma }^{\prime }=x^5,\gamma =\frac{x^6}{6}.$

c) Integrale generale dell'equazione completa:

$y=\frac{1}{x^2}(\frac{x^6}{6}+C).$

(Questo metodo si dice metodo della variazione della costante arbitraria)