Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari

Equazione di Bernoulli

Forma tipica:$-\frac{dy}{dx}+a(x)y=b(x)y^n.$

Si pone : $z=y^{1-n},$ onde $z^{\prime }=(1-n)y-n{y}^{\prime }$ e ponendo in questa l'espressione di y' si

ha l'equazione:

$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+az=b,$ che è lineare in z.

Esempio

$\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=\frac{y^3}{x^3}$

Si pone: $z=y^{-2},z^{\prime }=-2y^{-3}{y}^{\prime }$ e l'equazione diventa:

$\frac{dz}{dx}=\frac{4}{x}-\frac{2}{x^3},$

che risolta da: $z=\frac{1}{3x^2}+C{x}^{4}ovvero:\frac{1}{y^2}=\frac{1}{x^2}+C{x}^4.$

Equazione di Riccati

Forma tipica:$-\frac{dy}{dx}+a{y}^2+by+C=0.$

Essendo a, b, e C funzioni date di x:

Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo

$y=y_1+z$

Essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.

Esempio

$\frac{dy}{dx}-x{y}^2+2x^{2}y-x^3-1=0.$

Questa equazione ammette l'integrale particolare; $y_1=x,$ per cui ponendo: $y=x+z$ l'equazione diventa: $\frac{dx}{dx}=x{z}^2$ che si integra subito separando levariabili e si trova:

$z=-\frac{1}{\frac{x^2}{2}+C}$ pere cui l'integrale generale della data è:

$y=x-\frac{2}{x^2+2C}=\frac{x^3+2Cx-2}{x^2+2C}.$

Se si pone : $y=y_1+\frac{1}{z},$ l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.

Equazione di Lagrange

Forma tipica:$-y=\alpha (y^{\prime })x+\beta (y^{\prime }).$

Si derivano i due membri rispetto a xe si pone: $y^{\prime }=t$, onde l'equazione diventa:

$[t-\alpha (t)]\frac{dx}{dt}={\alpha }^{\prime }(t)x+{\beta }^{\prime }(t),$

Ovvero:$-\frac{dx}{dt}=\frac{{\alpha }^{\prime }(t}{t-\alpha (t)}x+\frac{{\beta }^{\prime }(t)}{t-\alpha (t)}[set=\alpha (t)],$

che è lineare nell'incognita $x=x(t).$

L'integrale generale si trova così in forma parametrica:

$\{\begin{array}{cc}x& \phi (t,C)\\ y& \alpha (t)\phi (t,C)+\beta (t)\end{array}$

Se in particolare: $\alpha (y^{\prime })=y^{\prime }$ l'equazione si dice di Clairaut.

Esempio

1) Si risolva l'equazione di Lagrange:

$y=x{y}^{\text{'}2}+y^{\text{'}}$

Derivando e ponendo poi $y^{\text{'}}=t$ si ha l'equazione lineare nell'incognita x:

$\frac{dx}{dt}+\frac{2x}{t-1}=-\frac{t}{t(t-1)}$

Procedendo ora come è stato indicato nelle Equazioni lineari si trova

$x=\frac{-t+logt+C_1}{(t-1{)}^2}$

Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:

$\frac{-t+logt+C_1}{(t-1{)}^2}y=\frac{t[tlogt+(C_1-2)t+1]}{(t-1{)}^2}$

2) Si risolva l'equazione di Clairaut:

$y=x{y}^{\text{'}}+y^{\text{'}2}.$

Derivando e ponendo $y^{\text{'}}=t$ si trova:

$\frac{dt}{dx}(x+2t)=0.$

L'equazione: $\frac{dt}{dx}=0$ fornisce l'integrale generale, poiché: $t=C,y^{\text{'}}=C,y=Cx+C_1$ che confrontata con la data diventa: $y=Cx+C^2.$

L'altra equazione: $x+2t=0$ da l'integrale singolare che è: $y^{\text{'}}=-\frac{x}{2}$ da cui $y=-\frac{x^2}{4},$ equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo della famiglia costituita dall'integrale generale.