Analisi matematica/Esempi di calcolo di integrali definiti

1. ${\int }_1^a\frac{1}{x}dx=(\log x{)}_1^a=\log a$
2. ${\int }_{\gamma }^{}(x+y)dx$

   essendo $\gamma$ l'arco di una parabola $y=a{x}^2$ compreso fra $x=0$ e $x=m:$

   ${\int }_{\gamma }^{}(x+y)dx={\int }_0^m(x+a{x}^2)dx=(\frac{x^2}{2}+a\frac{x^3}{3}{)}_0^m=\frac{m^2}{2}+a\frac{m^3}{3}$

3. ${\int }_{\gamma }^{}yds,$

   $\gamma =\hat{A}B$ arco di circonferenza di raggio $r$ e ampiezza $2\alpha$ avente il punto medio sull'asse $y.$

   Si ha: $x=r\sin \alpha ,y=r\cos \alpha ,ds=\sqrt[2]{x^{\text{'}2}(\alpha )+y^{\text{'}2}(\alpha )}ds=rd\alpha ,$

   ${\int }_{\gamma }^{}yds={\int }_{-\alpha }^{\alpha }{r}^2\cos \alpha d\alpha =(r^2\sin \alpha {)}_{-\alpha }^{\alpha }=2r^2\sin \alpha =r\overline{AB}.$

4. $\int {\int }_{\mathrm{\Omega }}^{}xydxdy,$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ il primo quadrante di un'elisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

   Si ha quindi\ :

   ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}^{}xydxdy={\int }_0^{b}dy{\int }_0^{\frac{a}{b}\sqrt[2]{b^2-y^2}}xydx=\frac{a^2}{2b^2}{\int }_0^{b}y(b^2-y^2)dy=\frac{a^2{b}^2}{8}$

   ovvero :

   ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}^{}xydxdy={\int }_0^{a}dx{\int }_0^{\frac{b}{a}\sqrt[2]{a^2-x^2}}xydy=\frac{b^2}{2a^2}{\int }_0^{a}x(a^2-x^2)dx=\frac{a^2{b}^2}{8.}$

5. $\int \int {\int }_V^{}{x}^{2}dxdydz$

   esendo $V$ un parallelepipedo con un vertice nell'ogigine, limitato dai piani cartesiani, e di cui altri tre vertci sono i punti:

   $A=\equiv (a,o,o),B\equiv (0,b,0),c\equiv (0,0,c);$

   ${\iiint }_V^{}{x}^{2}dxdydz={\int }_0^{c}dz{\int }_0^{b}dy{\int }_0^a{x}^{2}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^{c}dz{\int }_0^b{a}^{3}dy=\frac{a^{3}b}{3}{\int }_0^{c}dz=\frac{a^{3}bc}{3}$