Analisi matematica/Esempi di calcolo di integrali definiti

1. $\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx=(\log x{)}_1^a=\log a$
2. $\underset{\gamma }{\overset{}{\int }}(x+y)dx$

   essendo $\gamma$ l'arco di una parabola $y=a{x}^2$ compreso fra $x=0$ e $x=m:$

   $\underset{\gamma }{\overset{}{\int }}(x+y)dx=\underset{0}{\overset{m}{\int }}(x+a{x}^2)dx=(\frac{x^2}{2}+a\frac{x^3}{3}{)}_0^m=\frac{m^2}{2}+a\frac{m^3}{3}$

3. $\underset{\gamma }{\overset{}{\int }}yds,$

   $\gamma =\hat{A}B$ arco di circonferenza di raggio $r$ e ampiezza $2\alpha$ avente il punto medio sull'asse $y.$

   Si ha: $x=r\sin \alpha ,y=r\cos \alpha ,ds=\sqrt[2]{x^{\text{'}2}(\alpha )+y^{\text{'}2}(\alpha )}ds=rd\alpha ,$

   $\underset{\gamma }{\overset{}{\int }}yds=\underset{-\alpha }{\overset{\alpha }{\int }}{r}^2\cos \alpha d\alpha =(r^2\sin \alpha {)}_{-\alpha }^{\alpha }=2r^2\sin \alpha =r\overline{AB}.$

4. $\int \underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}xydxdy,$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ il primo quadrante di un'elisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

   Si ha quindi\ :

   $\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}xydxdy=\underset{0}{\overset{b}{\int }}dy\underset{0}{\overset{\frac{a}{b}\sqrt[2]{b^2-y^2}}{\int }}xydx=\frac{a^2}{2b^2}\underset{0}{\overset{b}{\int }}y(b^2-y^2)dy=\frac{a^2{b}^2}{8}$

   ovvero :

   $\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}xydxdy=\underset{0}{\overset{a}{\int }}dx\underset{0}{\overset{\frac{b}{a}\sqrt[2]{a^2-x^2}}{\int }}xydy=\frac{b^2}{2a^2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}x(a^2-x^2)dx=\frac{a^2{b}^2}{8.}$

5. $\int \int \underset{V}{\overset{}{\int }}{x}^{2}dxdydz$

   esendo $V$ un parallelepipedo con un vertice nell'ogigine, limitato dai piani cartesiani, e di cui altri tre vertci sono i punti:

   $A=\equiv (a,o,o),B\equiv (0,b,0),c\equiv (0,0,c);$

   $\underset{V}{\overset{}{\iiint }}{x}^{2}dxdydz=\underset{0}{\overset{c}{\int }}dz\underset{0}{\overset{b}{\int }}dy\underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{c}{\int }}dz\underset{0}{\overset{b}{\int }}{a}^{3}dy=\frac{a^{3}b}{3}\underset{0}{\overset{c}{\int }}dz=\frac{a^{3}bc}{3}$