Analisi matematica/Esempi di integrali generalizzati

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1+x}{\sqrt[2]{x}}dx,$

   la funzione $y=\frac{1+x}{\sqrt[2]{x}}$ ha un punto di infinito per $x=0$ di ordine $\frac{1}{2}$, onde si ha:

   $\underset{\delta \to 0}{\lim }I(\delta )=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{\delta }{\overset{1}{\int }}\frac{1+x}{\sqrt[2]{x}}dx=\underset{\delta \to 0}{\lim }{(2\sqrt[2]{x}+\frac{2}{3}\sqrt[2]{x^3})}_{\delta }^1=\frac{8}{3}$

2. $\int \underset{c}{\int }\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}},$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ un quadrato di lato $1$ con un vertice nell'origine e due lati sugli assi. La funzione $\frac{1}{x+y}$ ha un punto di infinito nell'origine. Si ha quindi:

   $\underset{c\to 0}{\lim }\int \underset{\mathrm{\Omega }-\omega }{\overset{}{\int }}\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}}=\underset{c\to 0}{\lim }[\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_1}{\int }\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}}+2\int \underset{{\mathrm{\Omega }}_2}{\overset{}{\int }}\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}}],$

   dove $\omega$ è un quadratino di lato $c$ con un vertice nell'origine, ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2,{\mathrm{\Omega }}_3$ le parti in cui è diviso $Omega$ dalle parallele agli assi per i punti $(c,0),(0,c).$

   Eseguendo i calcoli si trova:

   $\underset{c\to 0}{\lim }\underset{c}{\overset{1}{\int }}dy\underset{c}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[2]{x+y}}+2\underset{0}{\overset{c}{\int }}dy\underset{c}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt[2]{x+y=}}=\frac{8}{3}(\sqrt[2]{2}-1)$

3. $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^2}$

   La funzione $y=\frac{1}{y^2}$ per $x\to \mathrm{\infty }$ è infinitesima di ordine 2.

   si ha:

   $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{m}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(-\frac{1}{x})}_a^m=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{m}+\frac{1}{a})=\frac{1}{a}$.

4. $\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}\frac{dxdy}{(1+x^2)(1+y^2)}$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ il primo quadrato cartesiano. Allora si ha:

   $\underset{\frac{a\to \mathrm{\infty }}{b\to \mathrm{\infty }}}{\lim }\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{dy}{1+y^2}=\underset{\frac{a\to \mathrm{\infty }}{b\to \mathrm{\infty }}}{\lim }(\arctan a\cdot \arctan b)=\frac{\pi }{4}.$