Analisi matematica/Esempi di integrali generalizzati

1. ${\int }_0^1\frac{1+x}{\sqrt[2]{x}}dx,$

   la funzione $y=\frac{1+x}{\sqrt[2]{x}}$ ha un punto di infinito per $x=0$ di ordine $\frac{1}{2}$, onde si ha:

   $\underset{\delta \to 0}{lim}I(\delta )=\underset{\delta \to 0}{lim}{\int }_{\delta }^1\frac{1+x}{\sqrt[2]{x}}dx=\underset{\delta \to 0}{lim}{(2\sqrt[2]{x}+\frac{2}{3}\sqrt[2]{x^3})}_{\delta }^1=\frac{8}{3}$

2. $\int {\int }_c\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}},$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ un quadrato di lato $1$ con un vertice nell'origine e due lati sugli assi. La funzione $\frac{1}{x+y}$ ha un punto di infinito nell'origine. Si ha quindi:

   $\underset{c\to 0}{lim}\int {\int }_{\mathrm{\Omega }-\omega }^{}\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}}=\underset{c\to 0}{lim}[\int {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_1}\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}}+2\int {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_2}^{}\frac{dxdy}{\sqrt[2]{x+y}}],$

   dove $\omega$ è un quadratino di lato $c$ con un vertice nell'origine, ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2,{\mathrm{\Omega }}_3$ le parti in cui è diviso $Omega$ dalle parallele agli assi per i punti $(c,0),(0,c).$

   Eseguendo i calcoli si trova:

   $\underset{c\to 0}{lim}{\int }_c^{1}dy{\int }_c^1\frac{dx}{\sqrt[2]{x+y}}+2{\int }_0^{c}dy{\int }_c^1\frac{dx}{\sqrt[2]{x+y=}}=\frac{8}{3}(\sqrt[2]{2}-1)$

3. ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^2}$

   La funzione $y=\frac{1}{y^2}$ per $x\to \mathrm{\infty }$ è infinitesima di ordine 2.

   si ha:

   $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^m\frac{1}{x^2}dx=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{(-\frac{1}{x})}_a^m=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{1}{m}+\frac{1}{a})=\frac{1}{a}$.

4. ${\int }_{\mathrm{\Omega }}^{}\frac{dxdy}{(1+x^2)(1+y^2)}$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ il primo quadrato cartesiano. Allora si ha:

   $\underset{\frac{a\to \mathrm{\infty }}{b\to \mathrm{\infty }}}{lim}{\int }_0^a\frac{dx}{1+x^2}{\int }_0^b\frac{dy}{1+y^2}=\underset{\frac{a\to \mathrm{\infty }}{b\to \mathrm{\infty }}}{lim}(\arctan a\cdot \arctan b)=\frac{\pi }{4}.$