Analisi matematica/Esempi di integrazione coi diversi metodi

1. per decomposizione:

   $\int (3x^2+5x+-1)dx=3\int x^{2}dx+5\int xdx-\int dx=x^3+\frac{5x^2}{2}-x+c.$

2. per sostituzione:

   $\int (2x+1{)}^{2}dx=\frac{1}{2}\int t^{2}dt=\frac{(2x+1{)}^3}{6},$

   avendo posto $:2x+1=t$ da cui$:dx=\frac{dt}{2}.$

3. per parti:

   $\int x\log xdx=\frac{x^2\log x}{2}-\int \frac{x^2}{2}d(\log x)=\frac{x^2\log x}{2}-\frac{1}{2}\int xdx=$

   $=\frac{x^2}{2}(\log x-\frac{1}{2}),$

   avendo posto: $u=\log x,xdx=dv$ da cui:

   $du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}.$

4. per serie:

   Essendo $\frac{1}{1-x}=(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+\mathrm{.....}dx$ una serie uniformemente convergente per $|x|<1$ si ha:

   $\int \frac{dx}{1-x}=\int (1+x+x^2+\mathrm{....})dx,$

   cioè integrando:

   $-\log (1-x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n+1}}{n+1},$

   ovvero $:\log (1-x)=-(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\mathrm{....}).$