Analisi matematica/Esempi integrali dipendenti

Esempi di derivazione di integrali dipendenti da un parametro

1. $\mathrm{\Phi }(y)={\int }_0^1{x}^{y}dx;$

   $\frac{d\mathrm{\Phi }}{dy}={\int }_0^1\log x{x}^{y}dx=-\frac{1}{(y+1{)}^2.}$

2. $\mathrm{\Phi }(y)={\int }_0^{\sqrt{1-y^2}}(4x^{3}y-2x{y}^3)dx;$

   $\frac{d\mathrm{\Phi }}{dy}={\int }_0^{\sqrt{1-y^2}}(4x^3-6x{y}^2)dx-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}[4\sqrt{(1-y^2{)}^3}y-2y^3\sqrt{1-y^2}]=$

   $=(x^4-3x^2{y}^2{)}_0^{\sqrt{1-y^2}}-y^2(4-6y^2)=1-9y^2+10y^4$