Analisi matematica/Formule risolutive degli integrali

Integrali immediati

funzione data	integrale	funzione data	integrale
$x^m$	$\frac{x^{m+1}}{m+1}$	$co{s}^{2}x$	$\frac{1}{2}(sinxcosx+x)$
$a^x$	$\frac{a^x}{lna}$	$-cos{c}^{2}x$	$cotangx$
$e^x$	$e^x$	$se{n}^{2}x$	$\frac{1}{2}(x-sinxcosx)$
$\frac{1}{x}$	$ln|x|$	$-cose{n}^{2}x$	$cotangx$
$sinx$	$-cosx$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$arcsenx$
$cosx$	$senx$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$arccosx$
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{x}$	$\frac{1}{1+x^2}$	$arctangx$
$\frac{1}{n{\sqrt[n]{x}}^{n-1}}$	$\sqrt[n]{x}$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$arccotangx$
$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$	$arcsenx$	$-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$	$arccosenx$

Integrali quasi immediati

1. $\underset{}{\int }(ax+b{)}^{n}dx=\frac{1}{a}\underset{}{\int }(ax+b{)}^{n}d(ax+b)=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}$
2. $\underset{}{\int }\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\underset{}{\int }\frac{d(ax+b)}{ax+b}=\frac{1}{a}\log (ax+b)$
3. $\underset{}{\int }\frac{dx}{(ax+b{)}^n}=\frac{1}{a}\underset{}{\int }\frac{d(ax+b)}{(ax+b{)}^n}=\frac{1}{a(1-n)(ax+b{)}^{n-1}}$
4. $\underset{}{\int }\frac{xdx}{a{x}^2+b}=\frac{1}{2a}\underset{}{\int }\frac{d(a{x}^2+b)}{a{x}^2+b}=\frac{1}{2a}\log (a{x}^2+b)$
5. $\int \frac{dx}{a{x}^2+b}=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{x^2+c^2}=\frac{1}{ac}\int \frac{d(\frac{x}{c})}{(\frac{x}{c}{)}^2+1}=\frac{1}{ac}\arctan \frac{x}{c}=\frac{1}{a}\sqrt[2]{\frac{a}{b}}\arctan \sqrt[2]{\frac{a}{b}}x,$

   quando $\frac{b}{a}=c^2>0,$ cioè $a$ e $b$ hanno lo stesso segno.

6. $\int \frac{dx}{\sqrt[2]{a{x}^2+b}}=\frac{1}{\sqrt[2]{a}}\int \frac{dx}{\sqrt[2]{x^2\pm c^2}}$ se $\{\begin{array}{c}a>0\\ c^2=\mid \frac{b}{a}\mid \end{array}=\frac{1}{\sqrt[2]{a}}\log (x+\sqrt[2]{x^2\pm c^2})$
7. $\int \frac{dx}{\sqrt[2]{a{x}^2+b}}=\frac{1}{\sqrt[2]{|a|}}\int \frac{dx}{\sqrt[2]{c^2-x^2}}$ se $\{\begin{array}{c}a<0\\ c^2=|\frac{b}{a}|\end{array},=\frac{1}{\sqrt[2]{|a|}}\int \frac{d(\frac{x}{c})}{\sqrt[2]{1-(\frac{x}{c}{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt[2]{|a|}}\arcsin \frac{x}{c}$
8. $\int \sqrt[2]{a{x}^2+b}dx,$ se si integra per parti, ponendo $\{\begin{array}{c}dv=dx\\ u=\sqrt[2]{a{x}^2+b}\end{array}$, allora si ha:

   $\int \sqrt[2]{a{x}^2+b}dx=x\sqrt[2]{a{x}^2+b}-\int \frac{a{x}^{2}dx}{\sqrt[2]{a{x}^2+b}}=$

   $=x\sqrt[2]{a{x}^2+b}-\int \frac{a{x}^2+b}{\sqrt[2]{a{x}^2+b}}dx+b\int \frac{dx}{\sqrt[2]{a{x}^2+b}}=$

   $=x\sqrt[2]{a{x}^2+b}-\int \sqrt[2]{a{x}^2+b}dx+b\int \frac{dx}{\sqrt[2]{a{x}^2+b}},$

   quindi,risolvendo rispetto a $\int \sqrt[2]{a{x}^2+b}dx,$ si ha:

   $\int \sqrt[2]{a{x}^2+b}dx=\frac{x}{2}\sqrt[2]{a{x}^2+b}+\frac{b}{2}\int \frac{dx}{\sqrt[2]{a{x}^2+b}};$

   si è così ricondotti all'integrale 6 o 7:

9. $\int \sqrt[2]{a{x}^2+bx+c}dx=\int \sqrt[2]{a(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}}dx=\int \sqrt[2]{a{t}^2\pm k^2}dt,$

   si è così ricondotti all'integrale 8.

Integrali non immediati da calcolare con particolari decomposizioni o sostituzioni

Funzioni razionali

a) funzione razionale intera (polinomio)

$\underset{}{\int }(a_o{x}^n+a_1{x}^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_n)dx=a_o\frac{x^{n+1}}{n+1}+....+a_{n+1}$

b) funzione razionale fratta $:\frac{A(x)}{B(x)}$

Si suppone $A$ di grado inferiore a $B,$ altrimenti si farebbe la divisione di $A$ per $B$ e si avrebbe: $\frac{A}{B}=Q+\frac{R}{B}$ dove $Q$ è un polinomio e $\frac{R}{B}$ una frazione propria: Ora se il denominatore è tale che:

$B(x)=(x-\alpha )(x-\beta {)}^r[(x-ϵ{)}^2+{\delta }^2][(x-\mu {)}^2+{\nu }^2{]}^s$

essendo: $\alpha$ una radice reale semplice,

$\beta$ una radice reale multipla,

$ϵ\pm i\delta$ due radici complesse semplici,

$\mu \pm i\nu$ due radici complesse multiple,

dell'equazione: $B(x)=0$, la frazione data si decompone nel seguente modo:

$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{c_1}{x-\alpha }+\frac{d_r}{(x-\beta {)}^r}+\frac{d_{r-1}}{(x-\beta {)}^{r-1}}+....+\frac{d_1}{x-\beta }+\frac{m_{1}x+n_1}{(x-ϵ{)}^2+{\delta }^2}+\frac{p_{s}x+q_s}{[(x-\mu {)}^2+{\nu }^2{]}^s}+$

$+\frac{p_{s-1}x+q_{s-1}}{[(x-\mu {)}^2+{\nu }^2{]}^{s-1}}+....+\frac{p_{1}x+q_1}{(x-\mu {)}^2+{\nu }^2}$

dove le costanti $c_1,d_i,m_i,n_i,p_i,q_i$, si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della $x$ dei due membri. L'integrazione della frazione $\frac{A_x}{B_x}$ è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

c formule risolutive notevoli

1. $\underset{}{\int }\frac{A(x)dx}{(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)....(x-{\alpha }_n)}=\sum _{i=1}^n{c}_{i}log(x-{\alpha }_i)$
2. $\underset{}{\int }\frac{dx}{(a{x}^2+b{)}^2}=\frac{\sum _{i=1}^{i=n}{c}_{i}log(x-{\alpha }_i)}{(a{x}^2+b{)}^{n-1}}+c_n{I}_o(x)$

   dove $I_o(x)=\underset{}{\int }\frac{dx}{a{x}^2+b}$

3. $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{A(x)dx}{(ax+b{)}^n}=\frac{\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i{x}^{i-1}}{(ax+b{)}^{n-1}}+c_n\log (ax+b).$
4. $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{A(x)}{(x^2+b{)}^n}dx=\frac{\sum _{i=1}^{2n-2}{c}_i{x}^{i-1}}{(a{x}^2+b{)}^{n-1}}+c_{2n-1}\log (a{x}^2+b)+c_{2n}{I}_0(x).$
5. $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{A(x)}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}dx=\frac{\sum _{i=1}^{2n-2}{c}_i{x}^{i-1}}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}+c_{2n-1}\log (a{x}^2+bx+c)+c_{2n}{\overline{I}}_0(x),$

   dove ${\overline{I}}_0(x)=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{dx}{a{x}^2+bx+c.}$

   Per determinare le costanti $c_i$ si possono derivare i due membri delle formule precedenti, ridurre a forma intera i risultati e confrontare i numeratori per dedurre un sistema da risolvere rispetto alle costanti stesse.

Funzioni irrazionali

$a)\underset{}{\int }F[x,(ax+b{)}^{\frac{m}{n}},(ax+b{)}^{\frac{p}{q}}....(ax+b{)}^{\frac{r}{s}}]dx$

con $F$ simbolo di funzione razionale.

Ponendo:$ax+b=t^{\mu }$ dove $\mu =m.c.m(n,q,...s),$ da cui: $adx=\mu t^{\mu -1}dt$, l'integrale diventa:

$\underset{}{\int }F(\frac{t^{\mu }-b}{a},t^{m{q}_1},t^{p{q}_2},...t^{r{q}_k})\frac{\mu }{a}{t}^{\mu -1}dt$

con:$q_1=\frac{\mu }{n},q_2=\frac{\mu }{q},....q_k=\frac{\mu }{s},$

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

$1\underset{}{\int }\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$

Ponendo $x=t^2,dx=2tdt,t=\sqrt{x}$ si ha:

$\begin{array}{cc}\underset{}{\int }\frac{dx}{1+\sqrt{x}}& =2\underset{}{\int }\frac{tdt}{1+t}=2t-2\log (1+t)\\ & =2\sqrt{x}-2\log (1+\sqrt{x})\end{array}$

$2\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt[3]{x}-1}$

Posto $x=t^3$ onde $dx=3t^{2}dt$ si ha:

$\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt[3]{x}-1}=\underset{}{\int }\frac{1}{t-1}3t^{2}dt=3\underset{}{\int }\frac{t^2}{t-1}dt$

Ora, $\frac{t^2}{t-1}=1+t+\frac{1}{t-1},$ quindi

$\underset{}{\int }\frac{t^2}{t-1}dt=t+\frac{t^2}{2}+\log (t-1);$

allora, per $t=\sqrt[3]{x},$

$\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt[3]{x}-1}=3[\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2}{\sqrt[3]{x}}^2+\log (\sqrt[3]{x}-1)]$

$b)\underset{}{\int }F(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$

con F simbolo di funzione razionale.

1. Se $a>0$, si pone: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x,$ da cui:

   $x=\frac{t^2-c}{2\sqrt{a}t+b},dx=2\frac{(t^2+c)\sqrt{a}+bt}{(2t\sqrt{a}+b{)}^2}dt,t=x+\sqrt{a{x}^2+bx+c}$

   $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\frac{(t^2+c)\sqrt{a}+bt}{2t\sqrt{a}+b}$

   Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.

   esempio

   $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}}dx$

   Poniamo: $\sqrt{x^2-4x+5}=t-x$ da cui

   $x=\frac{1}{2}\frac{t^2-5}{t-2},dx=\frac{t^2-4t+5}{2(t-2{)}^2}dt,t=x+\sqrt{x^2-4x+5};$

   $\sqrt{x^2-4x+5}=\frac{t^2-4t+5}{2(t-2)}$

   allora, a meno di una costante:

   $\underset{}{\int }\frac{1}{\frac{t^2-4t+5}{2(t-2)}}\frac{1}{2}\frac{t^2-4t+5}{(t-2{)}^2}dt=\underset{}{\int }\frac{dt}{t-2}=\log (t-2);$

   si ha quindi:

   $\underset{}{\int }\frac{dx}{\sqrt{x^2-4x+5}}=\log (x+\sqrt{x^2-4x+5}-2)$

2. Se $a<0,$ si pone invece: $\sqrt[2]{a{x}^2+bx+c}=t(x-\alpha ),$ essendo $\alpha$ una radice reale dell'equazione: $a{x}^2+bx+c=0.$ [Se le radici non fossereo reali, essendo $a<0,$ $\sqrt[2]{a{x}^2+bx,+c}$ sarebbe immaginario]. Si ha quindi: $a(x-\beta )=(x-\alpha )t^2,$

   da cui$:x=\frac{a\beta -\alpha t^2}{a-t^2},dx=-\frac{2a(\alpha -\beta )t}{(a-t^2{)}^2}dt,$

   $\sqrt[2]{a{x}^2+bx+c}=-\frac{a(\alpha -\beta )t}{a-t^2}.$ Sostituendo tutto in funzione di $t$ l'integrale è ridotto a un integrale di funzione razinale di $t.$

$c)\int x^m(a{x}^n+b{)}^{p}dx$ (integrale di un differenziale binomio) con m, n, p, numeri razionali:

1. $p$ è intero

   Si sviluppa $(a{x}^n+b{)}^p$ con la regola del Binomio di Newton, si moltiplica il risultato per $x^m$ e si decompone l'integrale in tanti integrali del tipo : $\underset{}{\overset{}{\int }}{x}^{k}dx.$

2. $\frac{m+1}{n}$ è intero.

   Si pone $a{x}^n+b=t,$ da cui: $x=(\frac{t-b}{a}{)}^{\frac{1}{n}},dx=\frac{1}{na}$

3. $\frac{m+1}{n}+p$ è intero.

$d)$ formule risolutive notevoli:

1. $\int \frac{x^{n}dx}{\sqrt[k]{ax+b}}=[\frac{x^n}{a\phi (n,1)}-\frac{b\phi (n,0)x^{n-1}}{a^2\phi (n,1)\phi (n-1,1)}+.....+$

   $+(-1{)}^n\frac{b^n\phi (n,0)..\phi (1,0)}{a^{n+1}\phi (n,1)...\phi (0,1)}]\sqrt[k]{(ax+b{)}^{k-1}},$ dove :

   $\phi (n,m)=\frac{k(n+m)-m}{k}.$

2. $\int x^n\sqrt[k]{(ax+b)}dx=[\frac{x^n}{a\psi (n,1)}-\frac{b\psi (n,0)x^{n-1}}{a^2\psi (n,1)\psi (n-1,1)}+....]$

   $+(-1{)}^n\frac{b^n\psi (n,0)...\psi (1,0)}{a^{n+1}\psi (n,1)...\psi (0,1)}]\sqrt[k]{(ax+b{)}^{k+1}},$

   dove: $\psi (n,m)=\frac{k(n+m)+m}{k}.$

3. $\int \frac{P_n(x)}{\sqrt[2]{a{x}^2+bx+c}}dx=\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i{x}^{n-1-i}\sqrt{a{x}^2+bx+c}+c_n{J}_0(x)$

   dove: $P_n(x)$ è un polinomio di grado $n$ e $J_0(x)=\int \frac{dx}{\sqrt[2]{x^2+bx+c}}$ è l'integrale quasi immediato n°1, quindi:

   $J_0(x)=\frac{1}{2\sqrt[2]{a}}=\log \frac{2ax+b+2\sqrt[2]{a(a{x}^2+bx+c)}}{2ax+b-2\sqrt[2]{a(a{x}^2+bx+c)}}$ se : $\{\begin{array}{c}a>0\\ b^2-4ac>0\end{array}$

   $J_0(x)=\frac{1}{2\sqrt[2]{a}}=\log \frac{2\sqrt[2]{a(a{x}^2+bx+c}+2ax+b}{2\sqrt[2]{a(a{x}^2+bx+c)}-(2ax+b)}$ se : $\{\begin{array}{c}a>0\\ b^2-4ac<0\end{array}$

   $J_0(x)=\frac{1}{\sqrt[2]{|a|}}=\arcsin \frac{2|a|x-b}{\sqrt[2]{b^2+4|a|c}}$ se : $\{\begin{array}{c}a<0\\ b^2-4ac>0\end{array}.$

4. $\int P_n(x)\sqrt[2]{a{x}^2+bx+c}dx=\sum _{i=0}^{n+1}{c}_i{x}^{n+1-i}\sqrt[2]{a{x}^2+bx+c}+c_{n+2}{I}_0(x).$

   dove $I_0(x)$ è l'ntegrale 2 e le costanti $c_i$ si possono determinare derivando i due membri e confrontando poi i risultati ottenuti.

Funzioni trascendenti

$a)\underset{}{\int }F(senx,cosx)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $t=tang\frac{x}{2},$ da cui: $dx=\frac{2}{1+t^2}dt,senx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\underset{}{\int }\frac{dx}{senx+cosx}$

Ricordato che

$senx=\frac{2tang\frac{x}{2}}{1+tan{g}^2\frac{x}{2}}cosx=\frac{1-tan{g}^2\frac{x}{2}}{1+tan{g}^2\frac{x}{2}}$

si porrà: $tang\frac{x}{2}=t$ da cui $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{co{s}^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}(1+t^2);$

allora:$\underset{}{\int }\frac{dx}{senx+cosx}=\underset{}{\int }\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}dt=\int \frac{2dt}{-t^2+2t+1},$

con che la funzione da integrare è una funzione algebrica razionale.

$b)\underset{}{\int }F(tangx)dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone: $tangx=t$, da cui $dx=\frac{dt}{1+t^2},$ e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio

$\underset{}{\int }tangxdx=\underset{}{\int }\frac{t}{1+t^2}dt=\frac{1}{2}lo{g}_e(1+t^2)=\frac{1}{2}{\log }_e(1+tn{g}^{2}x)$

$c)\underset{}{\int }F(e^{ax})dx$

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone : $e^{ax}=t,$ da cui $x=\frac{1}{a}logt,dx=\frac{dt}{dx}$ e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio

$\int \frac{1}{1+e^x}dx$

Posto $e^x=t,$ da cui $\frac{dt}{dx}=e^x=t,$ si ha:

$\int \frac{dx}{1+e^x}=\int \frac{dt}{t(1+t)}=logt-log(1+t),$ e

$\int \frac{dx}{1+e^x}=log{e}^x-log(1+e^x)=x-log(1+e^x)$

$d)$ Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

1. $\int F(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$, con F simbolo di funzione razionale.

   si pone: $x=asent,$ onde:

   $\int F(x,\sqrt{a^2-x^2})dx=\int F(asent,acost)acostdt$

   esempio

   $\int \frac{5}{\sqrt{5^2-x^2}}dx$

   Si pone $x=5sent,$ da cui: $dx=5costdt,$ e $t=arcsen\frac{x}{5}.$

   Allora:

   $\int \frac{x}{\sqrt{5^2-x^2}}dx=\int \frac{5sent}{\sqrt{5^2-5^{2}se{n}^{2}t}}5costdt=-5cost$

   Sostituendo i ha: $-5cosarcsen\frac{x}{5}=-\sqrt{5^2-x^2}.$

2. $\int F(x,\sqrt{a^2+x^2})dx$

   Si pone: $x=atangt$ ovvero $x=asinhx,$ da cui:

   $dx=ase{c}^{2}tdtdx=acoshtdt$

   Allora:

   $\int (x,\sqrt{a^2+x^2})dx=\int F(atangt,asect)ase{c}^{2}tdt$

   ovvero

   $=\int F(asenht,acosht)acoshtdt.$

   esempio

3. $\int F(x,\sqrt{x^2-a^2})dx$ con $F$ simbolo di funzione razionale.

   Si pone: $x=a\sec t$ ovvero $x=a\cosh t,$ onde:

   $\int F(x,\sqrt[2]{x^2-a^2}dx=\int F(a\sec t,a\tan t)asecttantdt=$

   $=\int F(a\cosh t,a\sinh t)a\sinh tdt.$

$e)$ Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo $cosx=t$ ovvero $senx=t$, si ha:

$\underset{}{\int }senxF(se{n}^{2}x,cosx)dx=-\underset{}{\int }F(t-t^2,t)dt$

$\underset{}{\int }cosxF(co{s}^{2}x,senx)dx=\underset{}{\int }F(1-t^2,t)dt$

con F simbolo di funzione algebrca razionale.

$f)$ formule notevoli di riduzione:

Mediante integrazione per parti si trovano facilmente le seguenti formule:

1. $I_{m,n}=\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx=\frac{{\sin }^{m+1}x{\cos }^{n-1}x}{m+n}+\frac{n-1}{m+n}{I}_{m,n-2};$
2. $I_{m,n}\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx=\frac{{\sin }^{m-1}x{\cos }^{n+1}x}{m+n}+\frac{m-1}{m+n}{I}_{m-2,n}$ quando sia: $m+n\ne 0.$
3. $\int x^m{e}^{x}dx=x^m{e}^x-m\int x^{m-1}{e}^{x}dx$
4. $\int x^m[\log x{]}^{n}dx=\frac{x^{m+1}[\log x{]}^n}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^m[logx{]}^{n-1}dx$
5. $\int x^m\log [x+\sqrt[2]{1+x^2}]dx=\frac{x^{m+1}\log [x+\sqrt[2]{1+x^2}]}{m+1}-\frac{1}{m+1}\int \frac{x^{m+1}dx}{\sqrt[2]{1+x^2}}$

$g)$ formule risolutive notevoli.

Se $n$ è un intero positivo, si ha:

1. $\int {\sin }^{2n}xdx=\cos x\sum _{i=1}^n{c}_i{\sin }^{2i-1}x+c_{n+1}x.$
2. $\int {\sin }^{2n-1}xdx=\cos x\sum _{i=1}^n{c}_i{\sin }^{2i-2}x.$
3. $\int co{s}^{2n}xdx=\sin x\sum _{i=1}^n{c}_i{\cos }^{2i-1}x+c_{n+1}x$
4. $\int {\cos }^{2n-1}xdx=\sin x\sum _{i=1}^n{c}_i{\cos }^{2i-2}x$
5. $\int {\sec }^{2n}xdx=\tan x\sum _{i=1}^n{c}_i{\sec }^{2i-2}x$