Analisi matematica/Funzioni algebriche razionali

Formula di Lagrange

se $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\mathrm{..}+a_{n}x+a_n$

e $f(x_0)=A_0,f(x_1)=A_1,\mathrm{...}+f(x_n)=A_n$

essendo x₀ ...x_n; A₀...A_n numeri noti, il polinomio f(x) è dato dalla formula: f(x)=A₀f₀(x)+A₁f₁(x)+...+A_nf_n(n),

$dove:f_i(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)\mathrm{...}(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\mathrm{...}(x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_1)\mathrm{...}(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\mathrm{...}(x_i-x_n)}$

Da questa formula consegue:

1. teorema di Ruffini: Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio si annulli per $x=x_0$ è che esso sia divisibile per $x-x_0.$
2. principio di identità dei polinomi: condizione necessaria e sufficiente perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della $x,$ è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della $x.$

Potenza del binomio $(x+y{)}^n$ con n intero e positivo

$(x+y{)}^n=x^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}y+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{y}^2+\mathrm{...}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k+\mathrm{...}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})y^n,$

dove $:(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n(n-1)\mathrm{...}(n-k+1)}{k!}$

Il numeratore di questa frazione rappresenta il numero delle disposizioni di n elementi a k a k. Il denominatore, che si dice fattoriale di k, rappresenta il numero delle permutazioni di k elementi. Infine il numero $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=C_{n,k}$ che si dice coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi a k a k.

I coefficienti binomiali godono delle proprietà:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k});(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k});(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})\frac{n-k+1}{k};$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+\mathrm{...}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=2^n;(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})+\mathrm{..}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})+\mathrm{...}$

Potenza del polinomio $(x_1+x_2+\mathrm{...}+x_n{)}^m$ con m intero e positivo:

$(x_1+x_2+\mathrm{...}+x_n{)}^m=\sum \frac{m!}{{\lambda }_1!{\lambda }_2!\mathrm{...}{\lambda }_n!}{x}_1^{{\lambda }_1}{x}_2^{{\lambda }_2}\mathrm{...}{x}_n^{{\lambda }_n},$

la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri λ₁,λ₂,..λ_n interi tali che λ₁+λ₂+...+λ_n=m..

scomposizione di un polinomio in fattori

L'equazione$:f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{n-1}x+a_n=0$

può avere:

$k$ radici reali semplici $:{\alpha }_1,{\alpha }_2\mathrm{....}{\alpha }_k$

$h$ radici reali multiple $:{\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{...}{\beta }_h;$

con i rispettivi ordini di moltiplicità: $r_1,r_2,\mathrm{...}{r}_h$

$s$ radici complesse semplici $:{\gamma }_m\pm i_{{\epsilon }_m}conm=1,2,\mathrm{...}s;$

$t$ radici complesse multiple $:({\mu }_m\pm i_{{\nu }_m})$

con $m=1,2,\mathrm{...}t$ e con i rispettivi ordini di moltiplicità $l_1,l_2,\mathrm{...}{l}_t$ e sarà:

$k+r_1+r_2+\mathrm{..}+r_h+2s+2(l_1+l_2+\mathrm{..}+l_t)=n.$

In conseguenza il polinomio $f(x)$ è divisibile per le funzioni:

$x-{\alpha }_{m}m=\mathrm{1....}k,$

ovvero$:(x-{\beta }_m{)}^{r_m}m=\mathrm{1....}h,$

ovvero$:(x-{\gamma }_m{)}^2+{\epsilon }_m^{2}m=\mathrm{1...}s,$

ovvero$:[(x-{\mu }_m{)}^2+{\nu }_m^2{]}^{l_m}m=\mathrm{1....}t$

Se $f(x)$ ha $:3$ radici reali semplici $:{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$

$1$ radice reale tripla $:\beta$

$2$ radici complesse semplici $:\gamma \pm i_{\epsilon }$

$2$ radici complesse doppie $:\mu \pm i_{\nu }$

il polinomio $f(x)$ è decomponibile in fattori nel seguente modo:

$f(x)=a_0(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)(x-{\alpha }_3)(x-\beta {)}^3[(x-\gamma {)}^2+{\epsilon }^2][(x-\mu {)}^2+{\nu }^2{]}^2.$

Se $f(x)$ invece ha $n$ radici reali semplici si ha:

$f(x)=a_0(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\mathrm{....}(x-{\alpha }_n).$

Trasformazione di funzioni algebriche razionali fratte

$a)\frac{x^m-a_m}{x-a}=x^{m-1}+a{x}^{m-2}+a^2{x}^{m-3}+\mathrm{....}+a^{m-2}+a^{m-1}$

$b)\frac{x^{2m}-a^{2m}}{x+a}=x^{2m-1}-a{x}^{2m-2}+\mathrm{....}-a^{2m-1}$

$c)\frac{x^{2m+1}+a^{2m+1}}{x+a}=$

$d)\frac{f(x)}{(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\mathrm{...}(x-{\alpha }_n)}=$

dove $f(x)$ è un polinomio di grado $<n$ e le $c$ sono costanti da determinare, riducendo i due membri a forma intera e poi applicando ai medesimi il principio di identità dei polinomi, ovvero ponendo successivamente $x={\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{...}{\alpha }_n.$

$e)\frac{f(x)}{(x-\alpha )[(x-\beta {)}^2+{\gamma }^2]}=\frac{c_1}{x-\alpha }+\frac{c_{2}x+c_3}{(\alpha -\beta {)}^2+{\gamma }^2}$

$f)\frac{f(x)}{(x-\alpha )(x-\beta {)}^r}=\frac{c_1}{(x-\alpha )}+\frac{c_2}{(x-\beta }+\frac{c_2}{(x-\beta {)}^2}+\mathrm{...}+\frac{c_{r+1}}{(x-\beta )r}$

Le costanti $c_i$ si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.

Relazioni fra radici e coefficienti dell'equazione: f(x)=0

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\mathrm{...}+x_n=-\frac{a_1}{a_0}\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+\mathrm{...}+x_{n-1}{x}_n=\frac{a_2}{a_0}\\ \mathrm{...}\\ \sum x_1{x}_2\mathrm{...}{x}_r=(-1{)}^r\frac{a_r}{a_0}\\ x_1{x}_2\mathrm{....}{x}_n=(-1{)}^n\frac{a_n}{a_0}.\end{array}$

Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.

Discriminante di un'equazione algebrica

è la funzione simmetrica delle radici:

$D=a_0^{2n-2}\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{.....}& 1\\ x_1& x_2& \mathrm{.....}& x_n\\ x_1^2& x_2^2& \mathrm{.....}& x_n^2\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \mathrm{.....}& x_n^{n-1}\end{array}\right|$

Questo determinante si può anche esprimere come funzione rszionale intera con coefficienti interi dei coefficienti dell'equazione data. L'annullarsi del discriminante dell'equazione $f(x)=0$ esprime la condizione necessaria e sufficiente perché l'equazione abbia raici multiple.

Per l'equazione $a{x}^2+bx+c=0$ si ha: $D=b^2-4ac$ e per l'equazione $x^3+px+q=0,$ si ha: $D=-108(\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}).$

Campo di razionalità

Un sistema di numeri reali o complessi forma un campo di razionalità quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli elementi del campo.