Analisi matematica/Integrale definito

Se C è un campo a n dimensioni, f (x₁, x₂...x_n) una funzione data e limitata nel campo C, (x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,...x_n⁽ⁱ⁾) un punto appartenente ad una parte elementare $\mathrm{\Delta }{c}_i$ del campo totale C, se esiste il limite:

$I_c=\underset{\mathrm{\Delta }{c}_i\to 0}{\lim }\sum _{i}f(x_1^{(i)},x_2^{(i)},...x_n^{(i)})\mathrm{\Delta }{c}_i=\underset{\mathrm{\Delta }{c}_i\to 0}{\lim }\sum _i{l}_i\mathrm{\Delta }{c}_i=\underset{\mathrm{\Delta }{c}_i\to 0}{\lim }\sum _i{L}_i\mathrm{\Delta }{c}_i,$

essendo$l_i$ e$L_i$ rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di $f$ in $\mathrm{\Delta }{c}_i,$ questo limite si dice integrale definito di $f(x_1,...x_n)$ nel campo di integrazione $C$ e si indica con la scrittura:

$I_c=\underset{c}{\int }f(x_1,x_2,....x_n)dc.$

La funzione si dice allora integrabile, $C$ si chiama il campo di integrazione. La condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità è:

$\underset{\mathrm{\Delta }{c}_i\to 0}{\lim }\sum \mathrm{\Delta }{c}_i(L_i-l_i)=0,$

dove $L_i-l_i=D_i$ è l'oscillazione della funzione nella regione elementare $\mathrm{\Delta }{c}_i.$

Sono integrabili in un campo $C$ le funzioni che in tale campo sono continue, o generalmente continue o continue quasi dappertutto.