Analisi matematica/Integrali dipendenti

Integrali definiti dipendenti da un parametro

1) con limiti fissi:

$a):F(x)=\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy;b):\mathrm{\Phi }(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$

Se $f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un rettangolo $R$ definito dalle limitazioni: $a\le x\le b$, $c\le y\le d$, anche le funzioni $F(x)$ e $\mathrm{\Phi }(y)$ sono continue e derivabili rispettivamente in $(c,d)$ e $(a,b)$ e si ha:

$\frac{dF(x)}{dx}=\underset{c}{\overset{d}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}dy;\frac{d\mathrm{\Phi }(y)}{dy}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial y}dx;$

[regola di derivazione sotto il segno].

2) con limiti variabili:

$a)F(x)=\underset{\alpha (x)}{\overset{\beta (x)}{\int }}f(x,y)dy;b)\mathrm{\Phi }(y)=\underset{\gamma (y)}{\overset{\delta (y)}{\int }}f(x,y)dx$

Se $f(x,y)$ è continua ed ammette le derivate parziali prime finite e continue in un'area semplice $\mathrm{\Omega }$ tangente al rettangolo definito dalle limitazioni: $a\le x\le b,c\le y\le d,$ e se le funzioni $\alpha (x),\beta (x)$ sono continue e derivabili in $(a,b),$ e le funzioni $\gamma (y),\delta (y)$ sono continue e derivabili in $(c,d),$ le funzioni: $F(x)$ e $\mathrm{\Phi }(x)$ sono rispettivamente continue e derivabili in $(a,b)$ e $(c,d).$ Si ha inoltre:

$\frac{dF(x)}{dx}=\underset{\alpha (x)}{\overset{\beta (x)}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}dy-\frac{d\alpha }{dx}f[x,\alpha (x)]+\frac{d\beta }{dx}f[x,\beta (x)],$

$\frac{d\mathrm{\Phi }(y)}{dy}=\underset{\gamma (y)}{\overset{\delta (y)}{\int }}\frac{\partial f}{\partial y}dx-\frac{d\gamma }{dy}f[\gamma (y),y]+\frac{d\delta }{dy}f[\delta (y),y].$