Analisi matematica/Integrali generalizzati

1. integrali definiti con la funzione non limitata nel campo $C$ di integrazione.

   $a)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ con $f(x)$ non limitata in $b:$

   $I=\underset{\delta \to 0}{\lim }I(\delta )=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{a}{\overset{b-\delta }{\int }}f(x)dx.$

   $b)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ con $f(x)$ non limtato in $a:$

   $I=\underset{\delta \to 0}{\lim }I(\delta )=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{a+\delta }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

   $c)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)$ con $f(x)$ non limitata in $c$ essendo: $a<c<b$$:$

   $I=\underset{\frac{\delta \to 0}{{\delta }_1\to 0}}{\lim }I(\delta ,{\delta }_1)=\underset{\frac{\delta \to 0}{{\delta }_1\to 0}}{\lim }[\underset{a}{\overset{c-\delta }{\int }}f(x)dx+\underset{c+{\delta }_1}{\overset{b}{\int }}f(x)dx]$ $;$

   $d)\underset{}{\overset{}{\int }}\underset{}{\overset{}{\int }}f(x,y)dxdy$ con $f(x,y)$ non limitata in un punto $P$ di $\mathrm{\Omega }$ $:$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ un dominio elementare contenente il punto $P$ .

   Si dimostra che gli integrali generalizzati di questo tipo esistono per quelle funzioni che hanno qualche punto di infinito di ordine $\alpha <1$ .

2. integrali definiti in un campo C di integrazione non limitato

   $a)\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$, con $f(x)$ limitata:

   $I=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(m)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{m}{\int }}f(x)dx$ $;$

   $b)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$ con $f(x)$ limitata:

   $I=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(m)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-m}{\overset{b}{\int }}f(x)dx;$

   $c)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx,$ con $f(x)$ limitata :

   $I=\underset{\frac{m\to \mathrm{\infty }}{m_1\to \mathrm{\infty }}}{\lim }I(m,m_1)=\underset{\frac{m\to \mathrm{\infty }}{m_1\to \mathrm{\infty }}}{\lim }[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{m_1}{\int }}f(x)dx];$

   $d)\int \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x,y)dxdy,$ con $\mathrm{\Omega }$ illimitato e $f(x,y)$ limitata :

   $I=li{m}_{{\mathrm{\Omega }}_n\to \mathrm{\Omega }}\underset{}{\overset{}{\int }}\underset{{\mathrm{\Omega }}_n}{\overset{}{\int }}dxdy,$ essendo: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{\Omega }}_n=\mathrm{\Omega }.$

Questi integrali generalizzati esistono per quelle funzioni che per $x\to 0$ o per $x\to \mathrm{\infty },y\to \mathrm{\infty }$ sono infinitesime di ordine $\alpha >1.$