Analisi matematica/Integrali generalizzati

1. integrali definiti con la funzione non limitata nel campo $C$ di integrazione.

   $a){\int }_a^{b}f(x)dx$ con $f(x)$ non limitata in $b:$

   $I=\underset{\delta \to 0}{lim}I(\delta )=\underset{\delta \to 0}{lim}{\int }_a^{b-\delta }f(x)dx.$

   $b){\int }_a^{b}f(x)dx$ con $f(x)$ non limtato in $a:$

   $I=\underset{\delta \to 0}{lim}I(\delta )=\underset{\delta \to 0}{lim}{\int }_{a+\delta }^{b}f(x)dx$

   $c){\int }_a^{b}f(x)$ con $f(x)$ non limitata in $c$ essendo: $a<c<b$$:$

   $I=\underset{\frac{\delta \to 0}{{\delta }_1\to 0}}{lim}I(\delta ,{\delta }_1)=\underset{\frac{\delta \to 0}{{\delta }_1\to 0}}{lim}[{\int }_a^{c-\delta }f(x)dx+{\int }_{c+{\delta }_1}^{b}f(x)dx]$ $;$

   $d){\int }_{}^{}{\int }_{}^{}f(x,y)dxdy$ con $f(x,y)$ non limitata in un punto $P$ di $\mathrm{\Omega }$ $:$

   essendo $\mathrm{\Omega }$ un dominio elementare contenente il punto $P$ .

   Si dimostra che gli integrali generalizzati di questo tipo esistono per quelle funzioni che hanno qualche punto di infinito di ordine $\alpha <1$ .

2. integrali definiti in un campo C di integrazione non limitato

   $a){\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$, con $f(x)$ limitata:

   $I=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}I(m)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{m}f(x)dx$ $;$

   $b){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx,$ con $f(x)$ limitata:

   $I=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}I(m)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-m}^{b}f(x)dx;$

   $c){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx,$ con $f(x)$ limitata :

   $I=\underset{\frac{m\to \mathrm{\infty }}{m_1\to \mathrm{\infty }}}{lim}I(m,m_1)=\underset{\frac{m\to \mathrm{\infty }}{m_1\to \mathrm{\infty }}}{lim}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{c}f(x)dx+{\int }_c^{m_1}f(x)dx];$

   $d)\int {\int }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y)dxdy,$ con $\mathrm{\Omega }$ illimitato e $f(x,y)$ limitata :

   $I=li{m}_{{\mathrm{\Omega }}_n\to \mathrm{\Omega }}{\int }_{}^{}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_n}^{}dxdy,$ essendo: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{\Omega }}_n=\mathrm{\Omega }.$

Questi integrali generalizzati esistono per quelle funzioni che per $x\to 0$ o per $x\to \mathrm{\infty },y\to \mathrm{\infty }$ sono infinitesime di ordine $\alpha >1.$