Analisi matematica/Limiti

a) Limite o estremo superiore di una funzione in un campo $C$: è un numero L tale che ogni valore di essa in C è $\le L$ e, qualunque sia $ϵ$, esiste qualche valore della funzione maggiore di $L-\epsilon$.

b) Limite o estremo inferiore di una funzione in un campo C : è un numero l tale che ogni valore di essa in C è ≥l e, qualunque sia ε, esiste qualche valore della funzione minore di l+ε. Una funzione che ammetta limite superiore ovvero inferiore finiti si dice limitata superiormente o inferiormente e, se li ammette entrambi, si dice limitata.

c) Limite sinistro finito di f(x). Il numero l è limite sinistro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per a-x<δ (a>x) è pure |f(x)|<ε.

si scrive $:\underset{x\to a-}{\lim }f(x)=l$

d) limite destro finito di f(x).

Il numero l è limite destro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per x-a<δ (a<x) è pure: |f(x)-l|<ε.

Si scrive $:\underset{x\to a+}{\lim }f(x)=l$

Esempio $:\underset{x\to 2+}{\lim }|x|=2.$

|x| = massimo intero contenuto in x.

e) Limite finito di f(x).

Il numero l è limite o punto di accumulazione di f(x) per x→a se, dato un ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per |x-a|<δ si ha pure: |f(x)-l|< di ε.

Si scrive $:\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$

Esempio $:\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0,$ perché: |sin x|<|x| in un intorno completo di 0.

Quando una funzione ha un limite finito per x→a, si dice convergente per x→a.

f) Limite infinito di f(x).

1) Si dice che f(x) ha limite $\pm \mathrm{\infty }$ per x→a se per |x-a|<δ si ha rispettivamente: f(x)>M ovverif(x)<-M, essendo M un numero arbitrario positivo. Il limite $\mathrm{\infty }$ può essere anche sinistro o destro come quello finito.

esempio: $\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty },$ poiché per 0<x<ε si ha: $\frac{1}{x}>\frac{1}{\epsilon }.$

2) Si dice che f(x) ha limite $\pm \mathrm{\infty }$ per x→+∞ se per x>M si ha rispettivamente: f(x)>N ovvero f(x)<-N con M, N numeri positivi arbitrari, Analogamente per x→-∞.

Quando una funzione ha limite ±∞ per x→a si dice divergente per x→a.

Esempio: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty }sea>1,$ perché:

$\log a^x>\log Mquando;x>\frac{\log M}{\log a}.$

g) Limiti di z=f(x,y) per $x\to x_0$ e $y\to y_0$

Si dice che la funzione z=f(x,y) tende a l quando x tende a x₀ e y tendea y₀ se, dato $ϵ$ arbitrario, quando

$\{\begin{array}{c}|x-x_0|<\delta \\ |y-y_0|<\delta \end{array}$

si ha $:|f(x,y)-f(x_0,y_0)<ϵ$

e si scrive $:\underset{(x\to x_0)(y\to y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0).$

Esempio: La funzione $z=\frac{1}{x+y}$ tende a $\frac{1}{2}$ quando x e y tendono a 1.

h) Proprieta dei limiti

1) Se una funzione f(x) è sempre crescente (o sempre decrescente) per x→a, ammette un limite finito o infinito; in entrambi i casi coincide col suo estremo superiore(o col suo estremo inferiore).

Esempio: la funzuione $y=(1+{\frac{1}{x}}^x)$ crescente per x→∞ ammette come limite il numero e=2,71828.., base dei logaritmi neperiani.

2) Se una funzione f(x) è tale che: φ(x)≤f(x)≤ψ(x) e: $\underset{x\to a}{\lim }\varphi (x)=\underset{x\to a}{\lim }\psi (x)=l,$ si ha pure: $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l.$

Esempio: siccome:

$|\sin x|<|x|<\tan x|$ per x→0 e quindi: $1>|\frac{\sin x}{x}|>|\frac{1}{\cos x}|$

si deduce;

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$

3) Se una funzione è definita in un campo C, esiste almeno un punto in ogni intorno del quale il limite superiore (o inferiore) della funzione coincide col limite superiore (o inferiore) della stessa in C (teorema di Weierstrass).

4) $\underset{x\to 0}{\lim }|f(x)\pm \varphi (x)|=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to 0}{\lim }\varphi (x).$

Esempio$:\underset{x\to c}{\lim }(x+c)=\underset{x\to c}{\lim }x+\underset{x\to c}{\lim }c=2c$

5) $\underset{x\to a}{\lim }|f(x)\varphi (x)|=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\underset{x\to a}{\lim }\varphi (x)$

esempio $:\underset{x\to 0}{\lim }x\cos x=\underset{x\to 0}{\lim }x\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=0$

6) $\underset{x\to a}{\lim }|f(x){|}^n=|\underset{x\to a}{\lim }f(x){|}^n$

esempio $:\underset{x\to c}{\lim }{x}^m=|\underset{x\to c}{\lim }x{|}^m=c^m$

7) $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }\varphi (x)}$

esempio $:\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+4}{x+2}=\frac{\underset{x\to 1}{\lim }(x+4)}{\underset{x\to 1}{\lim }(x+2)}=\frac{5}{3}$

8) $\underset{x\to a}{\lim }logf(x)=\log \underset{x\to a}{\lim }f(x)$

esempio $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log (1+\frac{1}{x}{)}^x=\log \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^{\mathrm{\infty }}=\log e=1$