Analisi matematica/Numeri complessi

Nomenclatura

Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni

$a$ = parte reale $(a\in R)$;

$b$ = parte immaginaria $(b\in R)$;

$\rho$ = modulo;

$\theta$ = fase (o argomento);

$i$ = unità immaginaria

Definizioni

Una coppia ordinata $(a,b)$ di numeri reali, tali che:

$a):(a,b)=(a^{,},b^{,})$ se $a=a^{,},b=b^{,},$

$b):(a,0)=a$ numero reale,

$c):(a,b)+(a^{,},b^{,})=(a+a^{,},b+b^{,}),$

$d):(a,b)\cdot (a^{,},b^{,})=(a{a}^{,}-b{b}^{,},a{b}^{,}+a^{,}b),$

definisce un numero detto numero complesso.

Esso può rappresentarsi in varie forme:

1. algebrica:$(a,b)=a+ib,$ dove $i=(0,1)=$ unità immaginaria;
2. trigonometrica: $a+ib=\rho (cos\theta +isin\theta )$
3. geometrica: mediante un punto $P\equiv (a,b)$ di coordinate $(a,b)$ in un sistema cartesiano; il punto $P$ si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gauss.

Operazioni

Addizione

La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.

$z_1=a+ib$

$z_2=a^{\prime }+i{b}^{\prime }$

$z_3=z_1+z_2=(a+ib)+(a^{\prime }+i{b}^{\prime })=(a+a^{\prime })+i(b+b^{\prime })$

Sottrazione

La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.

$z_1=a+ib$

$z_2=a^{\prime }+i{b}^{\prime }$

$z_3=z_1-z_2=(a+ib)-(a^{\prime }+i{b}^{\prime })=(a-a^{\prime })+i(b-b^{\prime })$

Moltiplicazione

$(a+ib)\cdot (a^{\prime }+i{b}^{\prime })=a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }+i(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b),$

ovvero:

$[\rho (cos\theta +i\sin \theta )]\cdot [{\rho }^{\prime }(\cos {\theta }^{\prime }+i\sin {\theta }^{\prime })]=\rho {\rho }^{\prime }[cos(\theta +{\theta }^{\prime })+i\sin (\theta +{\theta }^{\prime })],$

cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

Divisione

$\frac{a+ib}{a^{\prime }+i{b}^{\prime }}=\frac{(a+ib)(a^{\prime }-i{b}^{\prime })}{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}=\frac{a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+i(a^{\prime }b-a{b}^{\prime })}{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}$

ovvero:

$\frac{\rho (\cos \theta +i\sin \theta )}{{\rho }^{\prime }(cos{\theta }^{\prime }+i\sin {\theta }^{\prime })}=\frac{\rho }{{\rho }^{\prime }}[cos(\theta -{\theta }^{\prime })+i\sin (\theta -{\theta }^{\prime })]$

Elevazione a potenza

$(a+ib{)}^n=[\rho (cos\theta +i\sin \theta ){]}^n={\rho }^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$

(formula di Moivre).

In particolare:

$i^{4k+1}=i{i}^{4k+2}=-1i^{4k+3}=-i{i}^{4k+4}=1$

Potenza con esponente immaginario

$e^{ix}=cosx+isinx$

(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:

$\rho (cos\theta +isin\theta )=\rho e^{i\theta }=e^{log\rho +i\theta }$

Estrazione di radice

$\sqrt[n]{a+ib}=\sqrt[n]{\rho (cos\theta +isin\theta )}=\sqrt[n]{\rho }[cos\frac{\theta +2k\pi }{n}+isin\frac{\theta +2k\pi }{n}]$

con$:k=0,1,\mathrm{2...}n-1.$

Questi $n$ numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia: $x^n=a+ib.$

In particolare:

$\sqrt[n]{1}=cos\frac{2k\pi }{n}+isin\frac{2k\pi }{n},\sqrt[n]{-1}=cos\frac{(2k+1)\pi }{n}+i\sin \frac{(2k+1)\pi }{n}$

dove $:k=0,1,\mathrm{2...}n-1$

Logaritmo di un numero complesso

$\log [\rho (cos\theta +isin\theta )]=log\rho +i\theta +2k\pi i,k=0,1,\mathrm{2...}$

Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.

Legami particolari tra numeri complessi

Numeri complessi coniugati

Due numeri:

$z_1=a+ib$

$z_2=a-ib$

si dicono: complessi coniugati e si indica $z_2=\overline{z_1}$.

I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:

1. la loro somma è $2a$;
2. il loro prodotto è $a^2+b^2$;
3. i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse $x$

Numeri contrari

Due numeri:

$z_1=a+ib$

$z_2=-a-ib$

si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.

Numeri reciproci

Due numeri complessi si dicono reciproci se:

1. i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse $x$
2. i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro $0$ e raggio $1$