Analisi matematica/Problemi fondamentali

a) Data una equazione differenziale ad es. ordinaria, risolverla significa trovare la famiglia di funzioni:

$y=f(x,c_1,c_2....c_n)(1)$

che la soddisfano identicamente.

La soluzione $(1)$ si dice integrale generale, se invece si danno alle costanti $c_1,c_2...c_n$ dei valori particolari si ottiene un integrale particolare, si dice infine integrale singolare una funzione $y=\varphi (x)$ non deducibile dalla $(1)$ e che sia soluzione dell'equazione data; se la famiglia $(1)$ ammette un inviluppo, la funzione corrispondente è un integrale singolare dell'equazione data.

Le costanti $c_1,c_2...c_n$ sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo n condizioni iniziali alle $y,y^{\prime },...y^{n-1}$. Se l'equazione differenziale è in forma normale cioè nella forma $y^{(n)}=F(x,y,y^{\prime },...y^{(n-1)})$, si dimostra che se $F$ è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di $x=x_0$, in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.

Esempio:

Sia data l'equazione $\frac{y^{\prime }}{y}=k$,essa può scriversi: $\frac{dlgx}{dx}=k$, da cui si trae: $lgy=kx+c,$ ovvero: $y=C{e}^{kx},$ avendo posto: $e^c=C$.

La famiglia di curve rappresentante l' integrale generale è dunque: $y=C{e}^{kx}$.

Se si vuole la curva della famiglia che passa per il punto $(0,1)$ basta determinare $C$ con l'equazione:

$1=C{e}^0,dacui:C=1$

e quindi: $y=e^{kx}$ è un integrale particolare.

b) Data una famiglia di funzioni:

$y=f(x,c_1,c_2,...c_n)$

eliminare ler costanti significa trovare l'equazione differenziale cui soddisfano tutte le funzioni della famiglia

data.

Per raggiungere lo scopo si calcolano le prime n derivate della funzione data e poi dal sistema così ottenuto si

eliminano le costanti.

$Esempio:$

Sia data la famiglia:

$x=r\cos (\omega t+\phi ),$

che è l'equazione del moto armonico semplice, si vuole trovarne l'equazione differenziale.

Derivando si ha:

$\frac{dx}{dt}=-r\omega \sin (\omega t+\phi )$, $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-r{\omega }^2\cos (\omega t+\phi ).$

Da quest'ultima confrontata con la data si trae:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$

che è l'equazione cercata.