Analisi matematica/Regole di integrazione

1. Per decomposizione:

   $\int [c_1{f}_1(x)+c_2{f}_2(x)]dx=c_1\int f_{1}dx+c_2\int f_2(x)dx$

   (proprietà distributiva dell'integrale)

2. per sostituzione:

   $\int f(x)dx=\int f[x(t)]\frac{dx}{dt}dt$

   avendo posto: $x=x(t),$ da cui:$dx=\frac{dx}{dt}dt$

3. Per parti:

   $\int u(v)dv=u(x)v(x)-\int v(x)du;$

   $u(x)$ si dice: 'fattore finito

   $dv$ si dice: fattore differenziale, perché è il diferenziale di una funzione v(x) nota.

4. Per serie:

   Una serie di funzioni è integrabile termine a termine se:

   $a):\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\int u_n(x)dx$ è convergente in un intervallo $(a,b),$

   $b):$ la somma $S(x)$ della serie e le funzioni $u_n(x)$ sono in $(a,b)$ integrabili,

   $c):\int S(x)dx=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\int u_n(x)dx.$

   Una serie uniformemente convergente di funzioni continue in un intervallo $(a,b)$ è integrabile termine a termine nello stesso intervallo.

   In particolare, se una funzione è sviluppabile in serie di Mac-Laurin in un intervallo $(-r,r)$, nello stesso intervallo è integrabile termine a termine.