Analisi matematica/Serie

Template:Analisi matematica a) Data una serie di funzioni:

$f_1(x)+f_2(x)+....+f_n(x)+...$

si dice che essa è uniformemente convergente in un intervallo (a,b), quando, dato un $ϵ$ arbitrario, esiste un indice $\overline{n}$ tale che, essendo $n>\overline{n}$ e qualunque sia x in (a,b) si ha:

$|R_n(x)|\le ϵ.$

Se in un intervallo (a,b) si ha: $|f_n(x)|\le {\alpha }_n,$ essendo $\sum _{}^{}{\alpha }_n$ una serie di numeri positivi convergente, la serie $\sum _{}^{}{f}_n(x)$ è uniformemente convergente in (a,b).

b) Una serie di funzioni continue uniformemente convergenti in un intervallo (a,b) è una funzione continua in (a,b).

c) Una serie di potenze:

$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n+...$

se converge per un valore x= x₀, converge per ogni valore di x tale che:

d) Una serie di potenze converge assolutamente ed uniformemente in ogni intervallo interno al suo intervallo di convergenza.

e) Le serie:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n},\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^2}.$

hanno per intervallo di convergenza l'intervallo (-1,+1). Negli estremi di questo intervallo la prima non converge perché il suo termine generale non tende a 0; la seconda converge per x=-1, diverge per x=1', la terza converge assolutamente tanto per x=1, quanto per x=-1.