Analisi matematica/Tipi di integrali definiti

Integrale lineare

Definizioni

$C=$ intervallo (a, b) dell'asse x,

$f=f(x),$

$I_c=\underset{\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0}{\lim }\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\phi (b)-\phi (a),$

essendo $\phi (b)-\phi (a)$ la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

Significato geometrico

L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

Teorema della media

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\lambda (b-a),$

essendo $\lambda$ un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua, $\lambda =f(c)$ essendo: a<c<b.

Formule di integrazione approssimata

$1)\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx=\frac{h}{2}[(y_0+y_n)+2(y_1+y_4+...+y_{n-1})],$

essendo: $h=\frac{b-a}{n}$ e $y_0,y_1,...y_n$ le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

$2)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{h}{3}[(y_0+y_{2n})+2(y_2+y_4+...+y_{2n-2})+4(y_1+y_3+...+y_{2n-1})]$

avendo $h,y_0,...y_{2n}$ lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

Formula per il cambiamento di variabile

Se si pone: $x=\phi (t),a=\phi (t_1),b=\phi (t_2)$ si ha :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt,$

quando la funzione $f(x)$ è continua in $(a,b)$ e le funzioni $\phi (t),{\phi }^{\prime }(t)$ sono continue in $(t_1,t_2)$ ed inoltre ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0.$

Integrale curvilineo

1° tipo

a) definizioni $:\{\begin{array}{c}C=intervallo(a,b)del{l}^{\prime }assex,\\ f=f(x,y)cony=\varphi (x)\end{array}$

$I_c=\underset{\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0}{\lim }\sum _{i}f[x_i,\varphi (x_i)]\mathrm{\Delta }{x}_i=\underset{\gamma }{\int }f(x,y)dx=$

$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f[(x,\varphi (x)]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx,$

essendo $\gamma$ l'arco $AB$ avente per estremi i punti:

$A=[a,\varphi (a)];B=[b,\varphi (b)].$

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva $\gamma$ è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:

$\underset{\gamma }{\overset{}{\int }}f(x,y)dx=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}f[x(t),y(t)]x^{\prime }(t)dt.$

b) significato geometrico :

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

2° tipo

a) definizioni:$\{\begin{array}{c}C=\varphi (x),\\ f=(x,y)cony=\varphi (x),\end{array}$

con $y=\varphi (x)$ arco della curva ,

$I_c=\underset{\mathrm{\Delta }{s}_i\to 0}{\lim }\sum _{i}f[x_i,\varphi (x_i)]\mathrm{\Delta }{s}_i=\underset{\gamma }{\int }f(x,y)ds=$

$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f[x,\varphi (x)]\sqrt{1+{\varphi }^{\text{'}2}(x)}dx,$

essendo $\gamma =AB$ con $A\equiv [a,\varphi (a)]$ e $B\equiv [b,\varphi (b)].$

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

$\underset{\gamma }{\int }f(x,y)ds=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f[x(t),y(t)]\sqrt{x^{\text{'}2}(t)+y^{\text{'}2}(t)}dt.$

b) significato geometrico:

rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco $\gamma$ e altezza variabile data da: $f[x,\phi (x)].$

Integrale doppio di campo

Definizioni

$C=$ regione semplice $\mathrm{\Omega }$ del piano $xy,$ limitata da archi:

$\widehat{ABC}:y=\alpha (x)$ archi inferiori,

$\widehat{ADC}:y=\beta (x)$ archi superiori,

$\widehat{CAD}:x=\gamma (y)$ archi a sinistra,

$\widehat{CBD}:x=\delta (y)$ archi a destra.

$f=f(x,y)$ con $x,y$ variabili indipendenti,

$I_c=\underset{\mathrm{\Delta }xi\to 0}{\lim }\sum _{i}f(x_i,y_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\mathrm{\Delta }{y}_i=\underset{R}{\overset{}{\iint }}g(x,y)dxdy$

avendo posto:

$\{\begin{array}{c}g(x,y)=f(x,y)in\mathrm{\Omega },\\ g(x,y)=0inResternamentea\mathrm{\Omega }\end{array}.$

dove $R$ è il rettangolo circoscritto alla regione $\mathrm{\Omega }$ limitato dalle rette $x=a,x=b,y=c,y=d.$

Calcolo per integrazioni successive

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}f(x,y)dxdy=\underset{c}{\overset{d}{\int }}dy\underset{\gamma (y)}{\overset{\delta (y)}{\int }}f(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx\underset{\alpha (x)}{\overset{\beta (x)}{\int }}f(x,y)dy.$

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .

Significato geometrico

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

Teorema della media

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}f(x,y)dxdy=\lambda \overline{\mathrm{\Omega }},$ essendo $\overline{\mathrm{\Omega }}=$ area della regione $\mathrm{\Omega }$ e $l<\lambda <L,$ dove $l$ e $L$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di $f(x,y)$ in $\mathrm{\Omega }.$

Se $f(x,y)$ è continua in $\mathrm{\Omega },$ $\lambda =f(\overline{x},\overline{y})$ esendo $(\overline{x},\overline{y})$ un punto di $\mathrm{\Omega }.$

Teorema di Gauss

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}\frac{\partial f}{\partial x}dxdy=\underset{\gamma }{\overset{}{\oint }}f(x,y)dy$

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}\frac{\partial f}{\partial y}dxdy=-\underset{\gamma }{\overset{}{\oint }}f(x,y)dx$

essendo $f(x,y)$ una funzione continua in $\mathrm{\Omega }$ e $\gamma$ il contorno chiuso di $\mathrm{\Omega }.$

Formula di Green o di Stokes

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}(\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y})dxdy=\underset{\lambda }{\overset{}{\oint }}(Adx+Bdy),$

essendo $A(x,y)$ e $B(x,y)$ funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice $\mathrm{\Omega }$, $\lambda$ il contorno chiuso della regione $\mathrm{\Omega }.$

Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.

Formula per il cambiamento di variabili

Se si pone:

$\{\begin{array}{c}x=\psi (u,v)\\ y=\phi (u,v),\end{array}$

essendo le $\psi$ e $\phi$ continue in una regione $\wedge$ del piano $u,v$ e se $J\left|\begin{array}{cc}\psi & \phi \\ u& v\end{array}\right|\ne 0$ in $\wedge ,$ si ha la formula :

$\int \underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}f(x,y)dxdy=\int \underset{\wedge }{\overset{}{\int }}f[\psi (u,v),\phi (u,v)]J\left|\begin{array}{cc}\psi & \phi \\ u& v\end{array}\right|dudv,$

dove $\wedge$ è la regione di $(u,v)$ corrispondente alla regione $\mathrm{\Omega }$ di $xy.$

Se in particolare si pone:

$\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$ (trasformazione polare),

$J\left(\begin{array}{cc}\phi ,& \psi \\ \rho ,& \theta \end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\rho \cos \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array}\right|=\rho$

e la formula diventa :

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\iint }}f(x,y)dxdy=\underset{\wedge }{\overset{}{\iint }}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho d\theta .$

Integrale triplo

Definizioni

$C=$ regione semplice spaziale $V,$

$f(x,y,z)$ con $x,y,z$ variabili indipendenti\ ,

$I_c=\underset{\frac{\frac{\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0}{\mathrm{\Delta }{y}_i\to 0}}{\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0}}{\lim }\sum _i^{}f(x_i,y_i,z_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\mathrm{\Delta }{y}_i\mathrm{\Delta }{z}_i=\underset{V}{\overset{}{\iiint }}f(x,y,z)dxdydz=$

$\underset{P}{\overset{}{\iiint }}g(x,y,z)dxdydz,$

dove $P$ è il parallelepipedo circoscritto alla regione $V$ con le facce parallele ai piani coordinati e

$g(x,y,z)=\{\begin{array}{c}f(x,y,z)inV\\ 0inPfuoridiV.\end{array}$

Calcolo per integrazioni successive

$\underset{V}{\overset{}{\iiint }}f(x,y,z)dxdydz=\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}dz\underset{y_1(z)}{\overset{y_2(z)}{\int }}dy\underset{x_1(x,y)}{\overset{x_2(y,z)}{\int }}f(x,y,z)dx$

essendo : $x_1(y,z)$ e $x_2(y,z)$ le ascisse dei punti $P_1,P_2$ in cui una parallela generica all'asse $x$ incontra la superficie limitatrice della regine $V;$ $y_1(z)$ e $y_2(z)$ sono le $y$ di contatto $Q_1,Q_2$ delle tangenti parallele all'asse $x$ alla seione della superficie con un piano parallelo al piano $xy$ per la retta $P_1{P}_2;$ infine le $z_1$ e $z_2$ sono le $z$ dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano $xy.$

Significato fisico

rappresenta la massa della regione $V$ quando $f(xy,z)$ ne rappresenti la densità.

Teorema della media

$\underset{}{\overset{}{\int }}\underset{}{\overset{}{\int }}\underset{V}{\overset{}{\int }}F(x,y,z)dxdydz=\lambda \overline{V},$

essendo $\overline{V}$ il volume della regione $V$ ed avendo $\lambda$ il solito significato .

Formula per il cambiamento di variabili

Se si pone $:\{\begin{array}{c}x=\phi (u,v,w)\\ y=\psi (u,v,w)\\ z=\chi (u,v,w)\end{array}$

essendo le $\phi ,\psi ,\chi$ funzioni continue in una regione $V$ dello spazio $(u,v,w)$ e $J\left(\begin{array}{ccc}\phi ,& \psi ,& \chi \\ u,& v,& w\end{array}\right)\ne 0$ si ha :

$\underset{V}{\overset{}{\iiint }}f(x,y,z)dxdydz=\underset{U}{\overset{}{\iiint }}f[\phi (u,v,w),\psi (u,v,w),\chi (u,v,w)]\cdot \left|\begin{array}{c}J\left(\begin{array}{ccc}\phi ,& \psi ,& \chi \\ u,& v,& w\end{array}\right)\end{array}\right|dudvdw.$

Teorema della divergenza

$\underset{}{\overset{}{\int }}\underset{}{\overset{}{\int }}\underset{V}{\overset{}{\int }}div.\mathrm{\Phi }d\tau =\underset{S}{\overset{}{\iint }}\mathrm{\Phi }\times dS$

essendo : $div.\mathrm{\Phi }=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ con $P,Q,R$ componenti di $\mathrm{\Phi }$ ed $S$ un elemento della superficie $S$ che chiude $V.$