Analisi matematica I/Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti

Template:Sommario V Template:Da wikificare Quando due funzioni (reali) o due successioni sono entrambe infinitesime o entrambe infinite è utile poter stabilire un confronto tra di esse per poter capire quale delle due tenda più rapidamente a 0 o all'infinito. Diciamo che a_n è un infinito di ordine superiore a b_n (ovvero b_n è un infinito di ordine inferiore ad a_n) se $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(a_n/b_n)=+\mathrm{\infty }$

Si deduce quindi che a_n va all’infinito più velocemente di b_n ovvero: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(b_n/a_n)=0$

Invece, diciamo che a_n e b_n sono infiniti dello stesso ordine se vanno all’infinito con la stessa velocità: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(b_n/a_n)=l$, con l∈R\{0}; se l=1 diciamo che a_n e b_n sono asintotiche e scriviamo a_n ~ b_n.

Gerarchia degli infiniti

Ecco alcuni esempi di funzioni che tendono ad infinito disposte in ordine crescente di velocità:

${\log }_{a}n<n^{\alpha }<c^n$

con a > 1; α > 0; c costante; $n\to +\mathrm{\infty }$Template:Avanzamento