Analisi matematica I/Esistenza del limite di una successione

Successioni monotone

Sia $(a_n)$ una successione reale tale che

$a_n\le a_{n+1},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se $a_n<a_{n+1}$ si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

• $a_n\ge a_{n+1}$ si dice monotona decrescente;
• $a_n>a_{n+1}$ si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_n)\uparrow$ o $(a_n)\downarrow$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

Dimostrazione

(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $ℝ$, sappiamo che esiste $\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n\in ℝ$. Sia $\lambda =\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n$.

Allora

$a_n\le \lambda ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
$\Downarrow$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,a_n<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
$\Downarrow$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,a_n-\lambda <\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_m+\epsilon >\lambda ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$
$\Downarrow$

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_m-\lambda >-\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

e siccome la successione è crescente, $a_n\ge a_m,\mathrm{\forall }n>m$ e quindi $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_n-\lambda \ge a_m-\lambda >-\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$.
Dunque abbiamo verificato che:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:|a_n-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

Ossia la tesi.

2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè $\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n=+\mathrm{\infty }$. Analogamente a prima, abbiamo che $\mathrm{\forall }k\in ℝ\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_m>k$.

Sempre per la monotonia di $a_n$, sappiamo che $a_n\ge a_m,\mathrm{\forall }n>m$ anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

$\mathrm{\forall }k\in ℝ\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_n>k,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

Dunque la successione è divergente e

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n=+\mathrm{\infty }$

(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.

$◻$

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