Analisi matematica I/Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Radici artimetiche

Sia $n\in \mathbb{N}$ fissato, $x\in ℝ,x\ge 0$. Si chiama radice n-esima aritmetica il numero

$y\in ℝ:y^n=x$

La radice n-esima di un numero $x$ si indica

$\sqrt[n]{x}{x}^{\frac{1}{n}}$

Esistenza delle radici

Si deve provare che dato, $x\in ℝ,x\ge 0,\mathrm{\exists }y\ge 0t.c.y^n=x.$

Se x = 0 ciò è ovvio (basta y=0!)

Sia x > 0. Sia inoltre A = { $a\in ℝ:a\ge e0a^n\le x$ }. $A\ne \varnothing .$Infatti $0\in A.$A è superiormente limitato.

Teorema (esistenza della radice n-esime di ogni numero reale)

Template:Riquadro TEOREMA(Radice aritmetica)siano dati x>0 e (n appartenente ai reali), n ≥ 2. Allora esiste uno ed un solo numero reale positivo w tale che w^n = x

Dimostrazione dell unicità della soluzione Ragioniamo per assurdo supponiamo che esistono 2 numeri che verificano entrambi l'enunciato

w1,w2 appartenenti ai reali diversi fra loro. 0 < w1 < w2

w1^n = x , w2^n = x

x = w1^n < w2^n = x questo è impossibile, si è giunti a contraddizione:

x < x

Deve esserci un'unica soluzione dimostrata l'unicità.

Funzione radice

Consideriamo la funzione radice $r:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}r(x)=x^n=y$. Per il teorema di esistenza della radice, esiste una ed una sola radice n-esima per ogni $x\in ℝ$, dunque $r$ è una funzione biiettiva e quindi invertibile. La sua inversa è

$r^{-1}(y)=\sqrt[n]{x}$