Analisi matematica I/I numeri complessi

L'insieme $ℂ$ dei numeri complessi

L'espressione $\sqrt{-1}$ non ha senso all'interno dei reali; non esiste un numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo. Come operammo nel passaggio da $\mathbb{Q}$ a $ℝ$, estendiamo quest'ultimo insieme per comprendere numeri come $\sqrt{-1}$. Introduciamo allora un'unità immaginaria $ı=\sqrt{-1}$.

Fatto questo, possiamo introdurre la classe dei numeri complessi: un numero complesso $𝑧$ si può esprimere come coppia ordinata di numeri reali $\mathit{(}a,b)$, oppure nella forma $a+ıb$. Singolarmente, $𝑎$ e $𝑏$ sono numeri reali, e rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso.

Se $\mathbb{Q}$ finiva per essere incluso in $ℝ$, nel nostro caso $ℝ$ può essere inteso come sottoinsieme di un più vasto $ℂ$ dei numeri complessi; ciascun numero reale può essere infatti visto come un numero complesso a parte immaginaria $𝑏$ nulla.

Operazioni tra complessi

La somma algebrica nei complessi si può portare a termine come nei reali se si tratta separatamente la parte reale e la parte immaginaria. Così, presi due complessi

$z=a+ıb$ e $z^{\prime }=c+ıd$,

abbiamo che

$z+z^{\prime }=a+c+ı(b+d)$.

Stesso discorso per il prodotto, ricordando però che ${ı}^2=-1$, e quindi

$z\cdot z^{\prime }=ac+ıad+ıbc-bd=(ac-bd)+ı(ad+bc)$

Per il quoziente ci serve qualche definizione in più.

Modulo, argomento e forma polare di un numero complesso

L'espressione di $𝑧$ come coppia ordinata di numeri reali può essere sfruttata per rappresentare graficamente un numero complesso in un piano. Si può costruire un piano complesso intersecando perpendicolarmente due assi: l'asse reale dove nel piano cartesiano avremmo le ascisse, l'asse immaginario al posto delle ordinate. Tale piano è detto anche Piano di Argand-Gauss, o semplicemente di Gauss.

Chiamiamo modulo del numero complesso $𝑧$ la sua distanza dall'origine, ovvero $\rho =|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

L'argomento di $𝑧$ è invece definito come l'angolo orientato $\vartheta$ che va dall'asse reale al segmento congiungente il punto $𝑧$ con l'origine.

Dalla trigonometria estrapoliamo poi che

$a=\rho \cdot \cos \vartheta$ e $b=\rho \cdot \sin \vartheta$.

Ora possiamo scrivere z nella sua forma polare: $z=\rho (\cos \vartheta +ı\sin \vartheta )$.

Coniugato di un numero complesso

Il numero $\bar{z}=a-ib$ è chiamato coniugato del solito $𝑧=a+ıb$ . Le seguenti proprietà del coniugato risultano molto utili:

$|\bar{z}|=|z|$ e $\arg \bar{z}=-\arg z$ .

Inoltre, il prodotto di $𝑧$ con il suo coniugato $\bar{z}$ dà il quadrato del modulo di $𝑧$, cioè

$z\bar{z}=|z{|}^2$.

Ancora sulle operazioni, quoziente tra complessi

Mediante semplici considerazioni algebriche, si può dedurre che se abbiamo due numeri complessi $z=\rho (\cos \vartheta +ı\sin \vartheta )$ e $w=r(\cos \varphi +ı\sin \varphi )$ il modulo del loro prodotto sarà il prodotto dei due moduli, e l'argomento la somma degli argomenti. Cioè: $|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$ e $\arg (z\cdot w)=\arg z+\arg w$.

Quindi,

$z\cdot w=\rho r(\cos (\vartheta +\varphi )+ı\sin (\vartheta +\varphi ))$.

Detto questo, torniamo alla divisione.

Sappiamo che $z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+ıb}$ .

Possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per $\bar{z}$, ottenendo $z^{-1}=\frac{a-ıb}{a^2+b^2}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$.

Il modulo di quest'ultima espressione è $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{|\bar{z}|}{|z{|}^2}=\frac{1}{|z|}$, mentre l'argomento è $\arg \frac{1}{z}=\arg \bar{z}$.

Conseguentemente possiamo interpretare $\frac{z}{w}$ come

$z\cdot \frac{1}{w}=\frac{ac+bd+ı(bc-ad)}{a^2+b^2}$, oppure, con moduli e argomenti,

$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$ e $\arg \frac{z}{w}=\arg z-\arg w$.

Teorema di De Moivre e potenze

Un numero complesso elevato all'$n$-esima, con $n\in \mathbb{N}$, è uguale al numero stesso moltiplicato $n$ volte per sè, come al solito. Sia dunque $z=\rho (\cos \vartheta +ı\sin \vartheta )$. Con $\rho =1$ otteniamo il Teorema di De Moivre:

$(\cos \vartheta +ı\sin \vartheta {)}^n=\cos n\vartheta +ı\sin n\vartheta$. L'uguaglianza è soddisfatta in seguito alla sommabilità degli argomenti di un prodotto tra complessi.

Più in generale,

$z^n={\rho }^n(\cos (n\vartheta )+ı\sin (n\vartheta ))$.

Radici complesse

Nel caso dei numeri reali, avevamo che $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$. Si potrebbe chiedersi perché $\sqrt{4}$ sia uguale al solo $\mathit{+}2$, mentre il suo opposto sia escluso. Il problema è di notazione: con $\sqrt{4}$ si intende la radice quadrata principale di 4, ovvero precisamente il numero reale positivo che ha per quadrato il radicando. Al contrario, con la notazione $\sqrt{x}$, dove $x$ è una variabile reale, si intendono entrambe le sue radici, se la radice è ad indice pari.

La radice di un numero complesso, $\sqrt{z}$, assume questo secondo significato.

Sfruttando lo stesso principio di cui ci siamo serviti nel caso della divisione, intendiamo l'operazione di estrazione di radice come un elevamento a potenza all'inverso. Cioè $\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}$.

Applicando la formula di De Moivre otteniamo proprio la radice principale di $𝑧$,

$z^{\frac{1}{n}}={\rho }^{\frac{1}{n}}(\cos \frac{\vartheta }{n}+ı\sin \frac{\vartheta }{n})$.

Esistono $n$ radici n-esime per un numero complesso: oltre a questa radice principale, ce ne sono altre $n-1$, che differiscono dalla principale solo nell'argomento. Prendendo la formula di De Moivre all'inverso, si vede che siccome seno e coseno sono periodiche con periodicità $2k\pi$, gli altri argomenti validi al variare di $𝑘$ sono della forma $\frac{\vartheta +2k\pi }{n}$. Di conseguenza

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho }(\cos \frac{\vartheta +2k\pi }{n}+ı\sin \frac{\vartheta +2k\pi }{n}),$ con $𝑘=0,1,2,...,n-1$.

La rappresentazione di queste radici sul piano complesso è assai intrigante: si tratta, al crescere di $𝑘$, del k-esimo vertice in senso antiorario di un poligono regolare con n lati inscritto nella circonferenza di raggio ${\rho }^{\frac{1}{n}}$.

Teorema fondamentale dell'algebra, equazioni complesse

Il teorema fondamentale dell'algebra prevede che un polinomio di grado n a coefficienti reali abbia precisamente n radici (da non confondere con le radici di un numero) nell'insieme dei complessi, considerando le loro molteplicità.

Ad esempio, prendiamo l'espressione che abbiamo scelto all'inizio, ${𝑥}^2+1=0$. Nel campo dei reali questa non ha nessuna soluzione. Nel campo dei complessi, espressioni di secondo grado di questo tipo hanno sempre due soluzioni (o al più una, ma doppia). In questo caso la soluzione è particolarmente semplice:

${𝑥}^2=-1x=\pm ı$.

Soluzione di equazioni di grado superiore al secondo

Un esempio di esercizio è quello, dato un polinomio $a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+a_3{z}^3...$ (di norma, non oltre il quinto grado) a coefficienti reali e una radice $𝑘$ del polinomio, di trovare tutte le altre radici.

Si opera scomponendo il polinomio in un prodotto di fattori irriducibili, in particolare in un prodotto di $𝑛$ fattori della forma $\mathit{(}z-j)$, dove $𝑗$ è un numero complesso (o reale) e $𝑛$ è il grado del polinomio iniziale.

Sviluppiamo l'esempio con un polinomio di quinto grado e una certa radice complessa data. È dimostrato che se un polinomio ha una radice complessa anche il coniugato della radice è radice, per cui possiamo dividere il polinomio per $(z-k)(z-\bar{k})$ fino ad ottenere un polinomio di terzo grado. Ora, il polinomio ha grado dispari. Ha quindi una (o tre) radici reali semplici, di cui quasi sempre una è facilmente individuabile "per tentativi sensati". Se troviamo un numero reale $𝑞$ che soddisfi l'annullamento del polinomio di terzo grado, possiamo dividere quest'ultimo per $\mathit{(}z-q)$ così da ottenere un polinomio di secondo grado. Trovandoci a dividere il polinomio in questo particolare modo possiamo usare anche la Regola di Ruffini.

Finalmente sappiamo trovare le ultime due radici con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, non dimenticando che le radici quadrate vanno intese come complesse. Questo metodo risolutivo, dove risolutivo, è il più rapido, poiché far ricorso alla formula di Cardano-Tartaglia per le equazioni di terzo (o quarto) grado risulta piuttosto scomodo.