Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Il rapporto incrementale

Introduzione

Il rapporto incrementale è il primo strumento che useremo per studiare il comportamento di crescita o decrescita di una funzione.

Significato geometrico

Questo rapporto è il coefficiente angolare della retta passante per i punti del grafico della funzione corrispondenti ad $x$ e ad $x+h$, cioè la retta secante al grafico della funzione, ovvero, la tangente dell'angolo che forma la suddetta retta con l'asse delle ascisse.

Come dicevamo, il rapporto incrementale ci da un'informazione sulla crescita o sulla decrescita di questa funzione ed in particolare ci da un'indicazione su quanto velocemente questa è avvenuta.

Purtroppo questa informazione non sempre è significativa.

Esempio 1

Studiamo ad esempio la funzione $f(x)=\alpha x$. Il rapporto incrementale relativo ad un qualsiasi incremento $h\ne 0$ e ad un qualsiasi x è

$\frac{\alpha (x+h)-\alpha x}{h}=\frac{\alpha h}{h}=\alpha .$

In questo caso il rapporto incrementale ci da un'informazione molto dettagliata su come la funzione cresce.

Esempio 2

Studiamo ora la funzione $f(x)=\sin (x)$. Sia $x=0,h=\frac{\pi }{2}$. Allora $R_h=\frac{\sin (\frac{\pi }{2})-\sin (0)}{\frac{\pi }{2}}=\frac{2}{\pi }$.

Sia ora $x=0,h=\pi$.

Allora $R_h=\frac{\sin (\pi )-\sin (0)}{\pi }=0$.

Come si vede facilmente, l'informazione che ci viene data dal rapporto incrementale in questo caso è praticamente inutile.

Sarebbe molto più interessante avere un indicatore di come la funzione cresce o decresce istantaneamente. Grazie al concetto di limite possiamo introdurre un nuovo concetto, quello di derivata, che ci permette di avere un'informazione sul tasso di crescita "istantaneo" della funzione.