Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le derivate fondamentali

Derivata di una funzione costante

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$y=k$

Tesi

$y^{\prime }=0$

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=k anche f(x+h)=k, quindi

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h)-x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k-k}{h}=0$

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=f(x)=k è una retta parallela all'asse x la cui pendenza in ogni suo punto è sempre uguale a zero, quindi la sua derivata deve essere zero.

Derivata della funzione y=x

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$y=x$

Tesi

$y^{\prime }=1$

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=x, allora f(x+h)=x+k, quindi

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x+h-x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h}=1$

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=x è la retta bisettrice del 1° e del 3° quadrante del piano cartesiano ortogonale quindi, dato che la pendenza di una retta è uguale, per un certo intervallo, al rapporto della differenza delle ordinate per la differenza delle ascisse e dato che, in questo caso, per qualsiasi intervallo, si verifica che

$\frac{4y}{4x}=1$

allora vuol dire che la derivata della funzione y=x è uguale a 1.

Derivata della funzione sinusoidale

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$y=\sin x$

Tesi

$y^{\prime }=\cos x$

Dimostrazione

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$

Applicando al numeratore la formula di prostaferesi

$\sin p\pm \sin q=2\sin \frac{p\pm q}{2}\cdot \cos \frac{p\mp q}{2}$

si ottiene

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\sin \frac{x+h-x}{2}\cos \frac{x+h+x}{2}}{h}$

Si moltiplica numeratore e denominatore per $\frac{1}{2}$ isolando il fattore con la funzione coseno

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot \cos \frac{2x+h}{2}]$

Si applica il teorema del prodotto dei limiti

$\underset{h\to 0}{\lim }[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)]=\underset{h\to 0}{\lim }f\left(x\right)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }g\left(x\right)$

ottenendo

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\cos (x+\frac{h}{2})$

Ricordando il limite notevole

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

si ottiene

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\cos (x+\frac{h}{2})=\cos x$

Derivata della funzione cosinusoidale

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$y=\cos x$

Tesi

$y^{\prime }=-\sin x$

Dimostrazione

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}$

Applicando al numeratore la formula di prostaferesi

$\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\cdot \sin \frac{p-q}{2}$

si ottiene

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-2\sin \frac{x+h+x}{2}\sin \frac{x+h-x}{2}}{h}$

Si moltiplica numeratore e denominatore per $\frac{1}{2}$ isolando il primo fattore del numeratore

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }[-\sin \frac{2x+h}{2}\cdot \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}]$

Si applica il teorema del prodotto dei limiti

$\underset{h\to 0}{\lim }[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)]=\underset{h\to 0}{\lim }f\left(x\right)\cdot \underset{h\to 0}{\lim }g\left(x\right)$

ottenendo

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }[-\sin (x+\frac{h}{2})]\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

Ricordando il limite notevole

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

si ottiene

$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }[-\sin (x+\frac{h}{2})]=-\sin x$