Analisi matematica I/Insiemi

Definizione

Un insieme è un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc. ed è costituito da elementi, che si dicono appartenere ad esso. Per indicare gli insiemi si utilizzano le lettere maiuscole dell'alfabeto (es. A,B,C...ecc.), mentre per denominare gli elementi che ne fanno parte o meno, si usano le lettere dell'alfabeto minuscole (a,b,c...ecc.).

• Diremo che un insieme A è finito se esiste un numero n appartenente ai numeri naturali tale che ad A appartengono esattamente n elementi; per contro diremo che ad A è infinito se, qualunque sia il numero naturale n, all'insieme appartengono più di n elementi.

Esempi

Un esempio di insieme finito è: $A=\{1,0,5,2,3\}$. Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito.

Se invece prendiamo in esame l'insieme dei numeri primi, che sono infiniti, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme infinito. In notazione matematica un insieme A dei numeri (x) tali che x sia un numero primo si scrive: $P:=\{x:x$ è un numero primo$\}$ oppure $P:=\{x|x$ è un numero primo$\}$.

Nomenclatura

• Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo:

$x\in A$

che si legge: x appartiene ad A oppure ad A appartiene x

• Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo:

$x\notin A$

che si legge: x non appartiene ad A oppure ad A non appartiene x

• Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è contenuto o incluso in B, o che B contiene o include A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione:

$A\subseteq B$ oppure $B\supseteq A$

in tal caso diremo che A è un sottoinsieme o una parte di B.

Osservazione:Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso.

• Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo che A è un sottoinsieme proprio o parte propria; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora:

$A\subset B$ oppure $B\supset A$

e si dice che A è strettamente contenuto in B.

Ovviamente, se $A\supseteq B$ e $B\supseteq A$, gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque:

$A=B$

• Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà $𝒫$, scriveremo:

$\{a\in A:𝒫\}$

la proprietà $𝒫$ è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A.

Esempio

Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive:

$\{a\in A:$a parallela ad r $\}$

che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r.

Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da a, b, c, ... si scrive:

$\{a,b,c,...\}$

In particolare, il simbolo $\{a\}$ mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a.

Insieme vuoto

Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l'insieme vuoto, cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo $\mathrm{\varnothing }$

Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneamente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto.

Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme $B=\{a,b,c\}$ e l'insieme $A=\{a,b,c\}$ e vogliamo trovare la loro differenza, avremo: $B-A=\mathrm{\varnothing }$ ma si può scrivere anche $\bar{A}=\mathrm{\varnothing }$ inoltre A e $\bar{A}$ sono fra loro complementari in B. E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà:

1. $A\cup \bar{A}=B$
2. $A\cap \bar{A}=\mathrm{\varnothing }$
3. $\bar{B}=\mathrm{\varnothing }$
4. $\bar{\mathrm{\varnothing }}=B$
5. $\overline{\stackrel{‾}{A}}=A$

Leggi di De Morgan

Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze:

1. $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$
2. $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$

Operazioni con gli insiemi

Intersezione tra insiemi

Si chiama intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B e si scrive:

$A\cap B:=\{x:(x\in A)\wedge (x\in B)\}$

Se dati due insiemi $A$ e $B$ risulta $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ i due insiemi non hanno alcun elemento in comune, perciò si chiameranno insiemi disgiunti.

Unione tra insiemi

Si chiama unione di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive:

$A\cup B:=\{x:(x\in A)\vee (x\in ̸B)\}$.

Similmente, dati n insiemi $A_1$, $A_2$, ... $A_n$, si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente:

$A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n$ e $A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$

oppure nella forma contratta:

$\bigcap _{k=1}^n{A}_k$ e $\bigcup _{k=1}^n{A}_k$

che leggeremo intersezione di $A_k$ per k da 1 ad n, e unione di $A_k$ per k da 1 ad n. Da precisare che la $k$ è un parametro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare

$A_1\cup A_2\cup \dots A_n$.

Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se I è un insieme infinito, e se per ogni $k\in I$ vi sia un insieme $A_k$, scriveremo intersezione e unione:

$\bigcap _{k\in I}{A}_k$ e $\bigcup _{k\in I}{A}_k$

• Se $A_1$, $A_2$, ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che $A_1$, $A_2$, ... sono una partizione di A.

Differenza tra insiemi

Si chiama differenza di due insiemi A e B, o complemento di B rispetto ad A, l'insieme degli elementi appartenenti ad A ma non a B, e lo scriveremo:

$A\setminus B:=\{x:(x\in A)\wedge (x\in ̸B)\}$

Questa definizione non presuppone che $B\subseteq A$, in quanto:

$A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$

Esempio

Se $A=\{1,3,8,9\}$ e $B=\{1,5,8\}$ avremo:

$A\cap B=\{1,8\}A\cup B=\{1,3,5,8,9\}$

$A\setminus B=\{3,9\}B\setminus A=\{5\}$

Differenza simmetrica

L'operazione di differenza simmetrica tra due insiemi viene indicata mediante la notazione: $A\mathrm{\Delta }B$ e da' come risultato un insieme costituito dagli elementi di $A$ non appartenenti a $B$ (cioè la differenza $A\setminus B$) e dagli elementi di $B$ non appartenenti ad $A$ (cioè la differenza $B\setminus A$). In notazione matematica scriveremo: $A\mathrm{\Delta }B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con $a\in A$ e $b\in B$

L'insieme si scrive:

$A\times B$

e si leggerà: prodotto cartesiano di A per B oppure A per B, oppure A cartesiano B.

L'elemento a si chiama prima coordinata (o componente), mentre b si chiama seconda coordinata (o componente).

Osservazioni

Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se $A\ne B$, gli insiemi $A\times B$ e $B\times A$ non coincidono.

• Il prodotto cartesiano $A\times A$, si può scrivere come $A^2$.

Esempio

se $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{a,b,c\}$ facendo il prodotto cartesiano $A\times B$, avremo le coppie ordinate:

$(1,a)$, $(1,b)$, $(1,c)$, $(2,a)$, $(2,b)$, $(2,c)$, $(3,a)$, $(3,b)$, $(3,c)$.

• Parlando in generale, chiameremo prodotto cartesiano di n insiemi non vuoti $A_1$, $A_2$, ... $A_n(n\ge 2)$, e lo scriveremo:

$A_1\times A_2\times \dots \times A_n$

mentre l'insieme i cui elementi sono le n-ple ordinate:

$(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

con $a_1\in A_1,a_2\in A_2,\dots a_n\in A_n$.

Gli elementi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ si chiamano rispettivamente prima, seconda, ..., n-esima coordinata (o componente). Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come $A^n$. A tale simbolo si dà significato anche per $n=1$, convenendo di porre $A^1=A$

Proprietà degli insiemi

Le operazioni di inclusione ed intersezione tra insiemi godono di alcune proprietà qui sotto elencate:

• Idempotenza: $A\cup A=A$ per l'inclusione, mentre per l'intersezione $A\cap A=A$;
• Commutativa: $A\cup B=B\cup A$ invece $A\cap B=B\cap A$;
• Distributiva: $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ e $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;
• Associativa: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ e $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$;
• Assorbimento: $A\cup (A\cap B)=A$ e $A\cap (A\cup B)=A$.