Analisi matematica I/Limite/1

Limite di funzioni da $ℝ$ a $ℝ$

Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata

Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo $ℝ\to ℝ$, per poi espanderla a casi più generali.

Definizione

Quindi iniziamo con una funzione $f:X\subseteq ℝ\to ℝ$, dove $X$ è il suo dominio e $ℝ$ la sua immagine. Sia $x_0$ un punto di accumulazione di $X$. Ora facciamo tendere $x$ a $x_0$ ($x\to x_0$), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di $x_0$ con la proprietà di contenere infiniti punti di $X$ (questo è garantito dal fatto che $x_0$ è un punto di accumulazione).

Ciò che ci interessa è cosa succede quando $x\to x_0$. Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se $P$ è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista, $P$ per $x\to x_0$, se esiste un intorno di $x_0$ che possiede $P$.

Ora possiamo dare la definizione di limite:

Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme ${ℝ}^{*}$ (insieme numeri reali esteso), che è definito come:

${ℝ}^{*}=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$

dove $-\mathrm{\infty }$ e $+\mathrm{\infty }$ non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che ${ℝ}^{*}$ sia un insieme ordinato, decidiamo che:

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da $x_0$ e da $l$.

• Per $x_0\in ℝ,l\in ℝ$:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta =\delta (l)>0:\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l|f(x)-l|<ϵ\mathrm{\forall }x\in A\cap (x_0-\delta ,x_0+\delta )-x_0$

• Per $x_0\in ℝ,l\in \mathrm{\infty }$:

$\mathrm{\forall }k>0,\mathrm{\exists }\delta =\delta (l)>0\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }f(x)>k\mathrm{\forall }x\in A\cap (x_0-\delta ,x_0+\delta )-x_0$

• Per $x_0=\mathrm{\infty }l\in ℝ$:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ):\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l|f(x)-l|<ϵ\mathrm{\forall }x\in A\cup x:x>N(ϵ)-x_0$.

• Per $x_0=\mathrm{\infty }l=\mathrm{\infty }$:

$\mathrm{\forall }k>0\mathrm{\exists }N(ϵ):\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }f(x)>k\mathrm{\forall }x\in A\cup (x:x>N(ϵ))$.

Se il limite di una funzione è il seguente $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$ la funzione si dice infinitesima.

Se il limite di una funzione è il seguente $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$ la funzione si dice infinita.

Esempio 1

Provare che $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\mathrm{\infty }$

Prendiamo un intorno di $+\mathrm{\infty }$, otteniamo:

$\kappa \le f(x)$

perciò:

$\kappa \le \frac{1}{x^2}$

$x^2\le \frac{1}{\kappa }$

quindi basterà prendere:

$x\in (-\frac{1}{\sqrt{\kappa }},+\frac{1}{\sqrt{\kappa }})$

che è un intorno di 0, il limite è verificato!.

Esempio 2

Provare che $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{x+2}=1$

Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:

$1-ϵ\le \frac{x}{x+2}\le 1+ϵ$

separando la disuguaglianza:

$1-ϵ\le \frac{x}{x+2}\text{ e }\frac{x}{x+2}\le 1+ϵ$

dalle quali otteniamo direttamente:

$x\ge 2(\frac{1}{ϵ}-1)\text{ e }x\ge -2(\frac{1}{ϵ}+1)$

dalle quali, per $ϵ>0$:

$x\ge 2(\frac{1}{ϵ}-1)>-2(\frac{1}{ϵ}+1)$

che è un intorno di $+\mathrm{\infty }$, perciò il limite è verificato.

Esempio 3

Provare che $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sin x$ non esiste

Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò

$\sin x\in [-1;+1]$

dalla quale

$x\in [-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;+\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$

che non è un intorno di $+\mathrm{\infty }$, perciò il limite non esiste.

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.

Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati rispettivamente:

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$ e $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$

La definizione sarà:

Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite per difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l^{+}$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l^{-}$

L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

Teorema della permanenza del segno

Dimostrazione

Template:Matematica voce È possibile eseguire la stessa dimostrazione per $+\mathrm{\infty }$ e $-\mathrm{\infty }$.

Teorema del confronto

Dimostrazione

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi $l=\pm \mathrm{\infty }$, ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.

Esempio

L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia $0<x<\frac{\pi }{2}$ la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

$\overline{OA}=1$

Allora

$\overline{PH}=\sin x$

$\overline{QA}=\tan x$

Si ha dunque

$\sin x<x<\tan x$

da cui, dividendo per $\sin x$

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$

prendendo i reciproci

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

sapendo che la disuguaglianza non cambia per $-x$ e che $\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$, sfruttando il teorema del confronto otteniamo

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

Calcolo dei limiti

Teoremi

I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.

È evidente la validità dei teoremi per valori di $ℝ$ (numeri reali), invece per elementi appartenenti a ${ℝ}^{*}$ (in particolare per i casi $\pm \mathrm{\infty }$) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.

Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:

• $l\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }$
• $\pm \mathrm{\infty }+l=\pm \mathrm{\infty }$
• $+\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$
• $+\mathrm{\infty }\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }$ (seguendo la regola dei segni convenzionale)
• $\frac{l}{\pm \mathrm{\infty }}=0^{\pm }$

Casi mancanti all'elenco precedente conducono ad esrepssioni del tipo:

• $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$
• $0\cdot \pm \mathrm{\infty }$
• $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$
• $\frac{0}{0}$

Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione.

Dimostrazione

La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema.

Forme di indecisione

Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato. Template:Avanzamento