Analisi matematica I/Limite/2

Definizione

Sia data una successione di numeri reali $\left\{a_n\right\}$.

Si dice che $l\in ℝ$ è il limite della successione $\{a_n\}$ per n che tende a $+\mathrm{\infty }$ (o che $\{a_n\}$ tende a $l$ per n che tende a $+\mathrm{\infty }$) e si scrive:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=l$

se

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\tilde{N}(ϵ)\in \mathbb{N}:|a_n-l|\le ϵ,\mathrm{\forall }n\ge \tilde{N}(ϵ)$.

In questo caso si dice che la successione $\{a_n\}$ è convergente.

Intuitivamente questo significa che tutti i valori della sequenza che tendono al limite l hanno una distanza da esso che equivale al valore assoluto $|a_n-l|$ e questa distanza equivale a $ϵ$, una quantità infinitesima.

Interpretazioni della definizione

• "per ogni $ϵ$ appartenente all'insieme dei numeri reali positivi (${ℝ}^{+}$) esiste un $n_{ϵ}$ appartenente all'insieme dei numeri naturali ($\mathbb{N}$) tale che la distanza fra il valore della successione ed il valore a del limite è minore di $ϵ$ per ogni valore di n appartenente a numeri naturali ( $\mathbb{N}$ ) maggiore di $N_{ϵ}$".

• "La successione $\{a_n\}$ " è convergente ad l se, comunque sia preso un intorno $U=(l-ϵ,l+ϵ)$ di l, esiste un intorno $V=(N,+\mathrm{\infty })$ di $+\mathrm{\infty }$ e dipendente dal primo tale che comunque sia preso un indice n in V il corrispondente $a_n$ appartiene a U, cioè all'intorno $(l-ϵ,l+ϵ)$

Si dice che $+\mathrm{\infty }$ è il limite della successione $\{a_n\}$ per n che tende a $+\mathrm{\infty }$ (o che $\{a_n\}$ tende a l per n che tende a $+\mathrm{\infty }$) e si scrive:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=+\mathrm{\infty }$

se

$\mathrm{\forall }K\ge 0\mathrm{\exists }\tilde{N}(K)\in \mathbb{N}:a_n\ge K,\mathrm{\forall }n\ge \tilde{N}(K)$. In questo caso si dice che la serie $\{a_n\}$ è divergente.

Lo stesso discorso può essere effettuato per serie che tendono a $-\mathrm{\infty }$.

Da notare che la differenza tra limite di funzione e limite di una successione è differente dato che il primo utilizza una variabile continua mentre il secondo una variabile discreta che non assume tutti i valori intermedi di quella continua.

La successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre una successione divergente si dice infinita.

Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficace dei concetti del calcolo infinitesimale. C'è da dire che infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo ma è una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola.

Esempi

• La sequenza di numeri reali 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, è limitata e converge al valore 0
• La sequenza a segni alterni 1, -1, 1, -1, 1, ... è divergente.
• La sequenza 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... è limitata e converge al valore 1
• Le successioni $a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{1}{n^2}$ sono infinitesime mentre $a_n=n,a_n=n^2$ sono infinite

Convergenza della successione

Una successione a_n converge a zero se e solo se $|a_n|$ converge a zero.

Esempio

La successione $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ converge a zero poiché $a_n=\frac{1}{n}$ converge.

Teorema di unicità del limite

Se la successione $a_n$ ammette limite, esso è unico.

Dimostrazione del teorema

Dimostrazione per assurdo (supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non è vero il teorema. ). Supponiamo che $l1≠l2$ siano limiti della successione $\{a_n\}$. Da questa definizione possiamo ottenere la distanza tra i due limiti $|l2-l1|$.
Per definizione di limite qualunque sia $ϵ>0$ esistono ${\mathbb{N}}_1(ϵ){\mathbb{N}}_2(ϵ)$, tali che i due intorni siano $a_n\in (l1-ϵ,l1+ϵ),n\ge N_1(ϵ)$ e $a_n\in (l2-ϵ,l2+ϵ),n\ge N_2(ϵ)$ e per la proprietà di separazione esisteranno due intorni tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto.
Poniamo $n\ge N_3(ϵ)=max(N_1(ϵ),N_2(ϵ))$ si ha che $a_n\in (l1-ϵ,l1+ϵ)\cap (l2-ϵ,l2+ϵ)$. D’altra parte essendo $ϵ$ arbitrario, si può assumere che esso sia $ϵ<\frac{|l1-l2|}{2}$ (cioè minore della metà della distanza fra l1 e l2), in modo da garantire che i due intervalli siano disgiunti ma in questo caso $(l1-ϵ,l1+ϵ)\cap (l2-ϵ,l2+ϵ)$ è vuoto proprio perché l'intervallo $ϵ$ non può coprire contemporaneamente l1 ed l2 in quanto la loro distanza è maggiore di $ϵ$ ed allora non può esistere il limite, anche perché li abbiamo supposti disgiunti i due intervalli.

Teorema esistenza del limite

Se la successione {a_n} è convergente essa è limitata (cioè esiste un $M\ge 0$ tale che $|a_n|\le M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.

Non è vero il viceversa, cioè una successione limitata può non ammettere limite, come ad esempio $a_n=(-1{)}^n$

Teorema del limite del modulo

Se a_n una successione $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=l$ allora anche $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=l$.

Teorema della permanenza del segno

Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=l>0$ esiste un numero N tale che $a_n>0,\mathrm{\forall }n\ge N$. In poche parole se il limite di una successione è un numero maggiore di zero, la successione dopo un certo indice N si mantiene positiva.

Dimostrazione

Per l>0 ha, per definizione di limite,$a-ϵ\le a_n\le a+ϵ$ per $n>\tilde{N}(ϵ)$ che, in corrispondenza a $ϵ=\frac{l}{2}>0$ diventa:

$0<\frac{l}{2}\le a_n\le \frac{3l}{2}$ per ogni $n\ge \tilde{N}(ϵ)$. C.v.d.

Nel caso in cui $l=+\mathrm{\infty }$ la tesi deriva direttamente dalla definizione di limite, infatti qualunque sia $K\ge 0$ esiste un $N=\tilde{N}(K)$ tale che $a_n\ge K>0$ per ogni $n\ge N$.

Corollario 1

Se $a_n\ge 0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=l$, allora $l\ge 0$

Dimostrazione

La dimostrazione anche in questo caso si svolge per assurdo. Se fosse $l<0$ allora in base al teorema della permanenza del segno si avrebbe che esiste un N tale che $a_n<0\mathrm{\forall }n>N$ il che è contro l'ipotesi.

Corollario 2

Se $a_n\ge b_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$ , allora $a\ge b$

Teorema del confronto

Siano $\{a_n{\}}_n\{b_n{\}}_n\{c_n{\}}_n$ tre successioni tali che $a_n\le c_n\le b_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=l$ allora la successione $c_n$ è convergente a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=l$

Dimostrazione

Utilizzando la definizione di limite si ha:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\widetilde{{\mathbb{N}}_1}(ϵ)\widetilde{{\mathbb{N}}_2}(ϵ)$ tali che:

$l-ϵ\le a_n\le l+ϵ𝐬𝐞n\ge \widetilde{{\mathbb{N}}_1}(ϵ)$

$l-ϵ\le b_n\le l+ϵ𝐬𝐞n\ge \widetilde{{\mathbb{N}}_2}(ϵ)$.

Le disuguaglianze precedenti sono verificate contemporaneamente per tutti gli

$n\ge \widetilde{{\mathbb{N}}_3}=max(\widetilde{{\mathbb{N}}_1}(ϵ),\widetilde{{\mathbb{N}}_2}(ϵ))$;

per tali n si ha che:

$l-ϵ\le a_n\le c_n\le b_n\le l+ϵ𝐬𝐞n\ge \widetilde{{\mathbb{N}}_3}(ϵ)$.

Essendo $ϵ$ è arbitrario segue la tesi poiché abbiamo provato che qualunque $ϵ>0\mathrm{\exists }\widetilde{{\mathbb{N}}_3}(ϵ)𝐭𝐚𝐥𝐞𝐜𝐡𝐞l-ϵ\le c_n\le l+ϵ𝐩𝐞𝐫n\ge \widetilde{{\mathbb{N}}_3}(ϵ)$

Esempio

Sia $c_n=\frac{\sin n}{n}$ poiché $-1\le \sin n\le 1$, si ha $-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}$. Da $a_n=-\frac{1}{n}\to 0b_n=\frac{1}{n}\to 0$ per il teorema del confronto si ha che $c_n=\frac{\sin n}{n}\to 0$

Limite di successioni monotone

Una successione (matematica) monotona $\{a_n\}$ crescente ammette sempre limite uguale a $sup\{a_n\}$ tale limite è perciò finito se $\{a_n\}$ è limitata superiormente altrimenti è $+\mathrm{\infty }$. Analogo è l'enunciato per le successioni decrescenti. Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il sup (o l'inf) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione:
$a_n\uparrow l$ oppure $a_n\downarrow l$.

Calcolo dei limiti

In riferimento al calcolo dei limiti nelle successioni esistono vari teoremi (simili al calcolo dei limiti nelle funzioni).

Si considerano successioni convergenti:
Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$ con $a,b\in ℝ$ si ha:
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\pm b_n)=a\pm b$

Dimostrazione limite somma

Per ipotesi qualunque sia $ϵ>0$ esistono $N_1(ϵ)N_2(ϵ)$ tali che:

$|a_n-l_1|<ϵ$ se $n>N_1(ϵ)$

$|b_n-l_2|<ϵ$ se $n>N_2(ϵ)$

Si vuole dimostrare che in corrispondenza all'arbitrario $ϵ>0$ esiste un $N_3(ϵ)$ tale che:

$|(a_n+b_n)-(l_1+l_2)|<2ϵ$ se $n>N_3(ϵ)$

Poiché $ϵ$ è arbitrario anche $2ϵ$ lo è dunque la precedente implica l'esistenza del limite e la sua uguaglianza ad a + b.

Osserviamo che $|(a_n+b_n)-(l_1+l_2)|=|(a_n-l_1)+(b_n-l_2)|\le |a_n-l_1|+|b_n-l_2|$ (per la disuguaglianza triangolare) e che per $n>N_3(ϵ)=max(N_1(ϵ),N_2(ϵ))$ sono verificate contemporaneamente le ipotesi (le due disuguaglianze iniziali):

$|(a_n+b_n)-(l_1+l_2)|=|(a_n-l_1)+(b_n-l_2)|\le |a_n-l_1|+|b_n-l_2|<ϵ+ϵ$ se $n>N_3(ϵ)$

In conclusione abbiamo provato che in corrispondenza di un arbitrario $ϵ>0$ se $n>N_3(ϵ)$ tale che:

$|(a_n+b_n)-(l_1+l_2)|<2ϵ$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n+b_n)=a+b$

Dimostrazione limite del prodotto

In base al teorema della limitatezza locale esiste un $M>0$ tale che $|b_n|<M\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Definendo $N_3(ϵ)=max(N_1(ϵ),N_2(ϵ))$ si ha:

$|a_n{b}_n|=|a_n{b}_n-l_1{b}_n+l_1{b}_n-l_1{l}_2|\le |b_n(a_n-a)|+|a(b_n-b)|=|b_n||a_n-a|+|a||b_n-b|\le Mϵ+|a|ϵ$

se $n>N_3(ϵ)$. Data l'arbitrarietà di $ϵ$ si ha che pure $(M+|a|)ϵ$ è arbitrario perciò il teorema è dimostrato

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}(𝐬𝐞b_n\ne 0,b\ne 0)$

Nel caso in cui i limiti sono $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ si può tenere presente la seguente tabella:

$a+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$

$a-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$

Lo stesso ragionamento lo ripetiamo per il prodotto e rapporto, tenendo presente che il segno va calcolato con la usuale regola dei segni:
$a\ast \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$

$\frac{a}{0}=\mathrm{\infty }(a\ne 0)$

$\frac{a}{\mathrm{\infty }}=0$.

Forme indeterminate

Esistono inoltre le forme indeterminate in cui non è possibile stabilire a priori il comportamento del limite. Le forme indeterminate sono le seguenti:

• $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$
• $0\ast \mathrm{\infty }$
• $\frac{0}{0}$
• $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$
• $1^{\pm \mathrm{\infty }}$
• $0^0$
• ${+\mathrm{\infty }}^0$

Limite notevole del tipo $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

Consideriamo la successione:

$\frac{P_p(n)}{Q_q(n)}$ $=\frac{a_p{n}^p+a_{p-1}{n}^{p-1}+\mathrm{...}{a}_{1}n+a_0}{b_p{n}^p+b_{p-1}{n}^{p-1}+\mathrm{...}{b}_{1}n+b_0}$

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ .

Raccogliendo $n^p$ al numeratore e $n\cdot q$ al denominatore si ha: $n^{p-q}\frac{a_p+a_{p-1}{n}^{-1}+\mathrm{...}{a}_1{n}^{1-p}+a_0{n}^{-}p}{b_p+b_{p-1}{n}^{-1}+\mathrm{...}{b}_1{n}^{1-p}+b_0{n}^{-}p}$

cioè

$n^{p-q}{c}_n$

dove:

$c_n=\frac{a_p+a_{p-1}{n}^{-1}+\mathrm{...}{a}_1{n}^{1-p}+a_0{n}^{-}p}{b_p+b_{p-1}{n}^{-1}+\mathrm{...}{b}_1{n}^{1-p}+b_0{n}^{-}p}$

poiché $n^{-k}\to 0$qualunque sia $k\in \mathbb{N}$ non nullo si ha:

$a_n=\frac{P_p(n)}{Q_q(n)}$ vale:

• $\frac{a_p}{b_q}𝐬𝐞p=q$
• $sign(\frac{a_p}{b_q})\mathrm{\infty }𝐬𝐞p\ge q$
• $0𝐬𝐞p\le q$

poiché $n^{p-q}$ vale:

• $1𝐬𝐞p=q$
• $+\mathrm{\infty }𝐬𝐞p\ge q$
• $0𝐬𝐞p\le q$

Confronti tra infiniti e infinitesimi

Per l'argomento confronti tra infinti e infinitesimi si rimanda all'articolo Stime Asintotiche