Analisi matematica I/Limiti di successioni reali

Successione convergente

Una successione $(a_n{)}_n$ tende a $\lambda \in ℝ$ per $n$ che tende a infinito se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:\lambda -\epsilon <a_n<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

oppure equivalentemente

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:|a_n-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

Cioè mano a mano che cresce il contatore $n$ della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale $\lambda$. Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale $\epsilon$, per un $n$ sufficientemente grande (più grande di un altro valore $m$) la differenza tra la successione ed il limite della successione $\lambda$ è proprio $\epsilon$, cioè un valore anche infinitamente piccolo.

Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a $\lambda$ e $\lambda$ è il suo limite (sempre per $n$ che tende all'infinito).

Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.

Esempi

1. Proviamo che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$, cioè proviamo la veridicità della definizione:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:\left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo $\epsilon$, deve esistere un $m\in \mathbb{N}$ tale che

$\frac{1}{n}<\epsilon \iff n>\frac{1}{\epsilon },\mathrm{\forall }n>m$.

Ci basta prendere come $m$ un numero più grande di $\frac{1}{\epsilon }$ e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque $m=\frac{1}{\epsilon }+\delta$ abbiamo che $n>\frac{1}{\epsilon }+\delta >\frac{1}{\epsilon }⟺\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\epsilon$ e abbiamo finito.

Successioni divergenti

La successione reale $(a_n)$ si dice divergente se

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\pm \mathrm{\infty }$.

In particolare si hanno le seguenti definizioni:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty }$ se e solo se $\mathrm{\forall }k>0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_n>k,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-\mathrm{\infty }$ se e solo se $\mathrm{\forall }k<0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_n<k,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

Esempio

1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è $(a_n{)}_n=(n{)}_n$, andremo a dimostrare che $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n=+\mathrm{\infty }$

Fissiamo $k>0$, il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale $m$ tale che per ogni $n>m$ si ha che $n>k$. Banalmente è sufficiente prendere $m>k$, di conseguenza per $n>m$ si ha anche $n>k$ (si tenga conto della catena di disuguaglianze $n>m>k$)

2. Mostreremo ora che $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{n}^2=+\mathrm{\infty }$

Fissiamo $k>0$, come nel caso precedente determineremo un numero naturale $m$ tale che per ogni $n>m$ si ha che $a_n>k$. Da $n^2>k$ segue che $n>\sqrt{k}$, in questo caso, quindi, il candidato $m$ è il più piccolo numero naturale più grande di $\sqrt{k}$. Se $m>\sqrt{k}$, si ha che per ogni $n>m$ $n>\sqrt{k}$ (si tenga conto della catena di disuguaglianze $n>m>\sqrt{k}$). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale ${\displaystyle }$ abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.

Successioni regolari e irregolari

L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.

Definizione

Una successione reale

$(a_n{)}_n\stackrel{`}{e}\{\begin{array}{c}\text{ regolare se }\mathrm{\exists }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\{\begin{array}{c}\ell \in ℝ\\ +\mathrm{\infty }\\ -\mathrm{\infty }\end{array}\\ \text{ irregolare se }\nexists \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\end{array}$

In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.

Teorema di unicità del limite

Data una successione $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tale che esiste il $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ allora il limite è unico.

Dimostrazione

Il nostro scopo è quello di far vedere che se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A_1$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A_2$ allora $A_1=A_2$

Per ipotesi abbiamo che dato $\epsilon >0$ riusciamo a determinare:

• un $N_1\in \mathbb{N}$ tale che $\mathrm{\forall }n>N_1$ abbiamo che $|a_n-A_1|<\epsilon$
• un $N_2\in \mathbb{N}$ tale che $\mathrm{\forall }n>N_2$ abbiamo che $|a_n-A_2|<\epsilon$.

Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando $N=\max (N_1,N_2)$

$\begin{array}{cc}|A_1-A_2|& =|A_1-a_n+a_n-A_2|\le \\ & \le |a_n-A_1|+|a_n-A_2|<2\epsilon \mathrm{\forall }n>N\end{array}$.

Abbiamo fatto vedere che$|A_1-A_2|$ è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che

$|A_1-A_2|=0⟺A_1=A_2$, i limiti devono necessariamente coincidere.

$◻$

Criteri di convergenza per una successione

Teorema (convergenza di una sottosuccessione)

Sia $(a_n)$ una successione convergente a $\lambda \in ℝ$. Allora ogni sottosuccessione $(a_{i_n})$ è convergente a $\lambda$.

Dimostrazione

Se $(a_n{)}_n$ converge a $\lambda$, per definizione di limite, si ha che:

Fissato $\epsilon >0$ esiste $m\in \mathbb{N}:|a_n-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m,n\in \mathbb{N}$

Osserviamo ora che $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ valgono le due condizioni

$i_n\ge n$

$i_n<i_{n+1}$

Se così non fosse allora $(a_{i_n}{)}_n$ non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se $m<n$ allora :$m<i_n$. Pertanto per lo stesso $\epsilon$

$\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:|a_{i_n}-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m,n\in \mathbb{N}$.

Il candidato m che realizza la disuguaglianza $|a_{i_n}-\lambda |<\epsilon \mathrm{\forall }n>m$ è lo stesso che realizza la disuguaglianza $|a_n-\lambda |<\epsilon \mathrm{\forall }n>m$.

Dall'arbitrarietà di $\epsilon$ abbiamo la tesi.

$◻$

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

Se $(a_n{)}_n$ è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione $(a_{i_n}{)}_n$ è anch'essa divergente positivamente (negativamente).

Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty }$. Allora, per definizione di successione divergente:

$\mathrm{\forall }k>0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_n>k,\mathrm{\forall }n>m$

Anche qui $i_n\ge n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, pertanto $i_n>m$ di conseguenza $a_{i_n}>k\mathrm{\forall }n>m$.

Dunque, se $(a_n{)}_n$ diverge positivamente per ogni $n>m$, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.

$◻$

Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.

Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:

Se una successione reale $(a_n{)}_n$ è regolare allora ogni sua sottosuccessione $(a_{i_n}{)}_n$ è regolare e i loro limiti coincidono.

Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.

Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni

Sia $(a_n)$ una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni $(a_{i_n}{)}_n,(a_{j_n}{)}_n$ tali che

• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{i_n}={\ell }_1$
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{j_n}={\ell }_2$

con ${\ell }_1\ne {\ell }_2$ allora la successione $(a_n{)}_n$ non ammette limite.

Esempi

Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.

Esempio 1

Consideriamo la successione reale $(a_n{)}_n={((-1{)}^n)}_n$ e osserviamo che essa assume i valori -1, se $n$ è dispari, 1 se $n$ è pari.

$a_n=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }n\text{ pari}\\ -1,& \text{se }n\text{ dispari}\end{array}$

Se prendiamo $(i_n{)}_n=(2n{)}_n$ e $(j_n)=(2n+1{)}_n$ abbiamo che:

• $(a_{i_n}{)}_n={((-1{)}^{2n})}_n=(1{)}_n$
• $(a_{j_n}{)}_n={((-1{)}^{2n+1})}_n=(-1{)}_n$.

Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{i_n}=1$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{j_n}=-1$

I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione ${((-1{)}^n)}_n$ non ammette limite.

Esempio 2

Consideriamo la successione reale $(a_n{)}_n={(\sin \left(n\frac{\pi }{2}\right))}_n$. Per c

Se prendiamo $(i_n{)}_n=(2n{)}_n$ e $(j_n)=(4n+1{)}_n$ abbiamo che:

• $(a_{i_n}{)}_n={(\sin \left(2n\frac{\pi }{2}\right))}_n={(\sin \left(n\pi \right))}_n=(0{)}_n$
• $(a_{j_n}{)}_n={(\sin ((4n+1)\frac{\pi }{2}))}_n=(1{)}_n$.

Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{i_n}=0$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{j_n}=1$

I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione ${(\sin \left(n\frac{\pi }{2}\right))}_n$ non ammette limite.

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