Analisi matematica I/Numeri complessi

Insieme dei numeri complessi

L'insieme dei numeri complessi, denotato con $ℂ$, è un anello così composto:

$ℂ:=(ℝ\times ℝ,+,\cdot )$

cioè è un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto (di coppie di numeri reali). Queste operazioni sono definite nel modo seguente, $\mathrm{\forall }(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })\in ℂ$ e $x,x^{\prime },y,y^{\prime }\in ℝ$:

$\begin{array}{c}(x,y)+(x^{\prime },y^{\prime })=(x+x^{\prime },y+y^{\prime })\\ (x,y)\cdot (x^{\prime },y^{\prime })=(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime },x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })\end{array}$

In definitiva, $(ℂ,+,\cdot )$ è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma vi invitiamo a farla come esercizio.

$ℝ$ come sottocampo di $ℂ$

Poniamo ${ℝ}^{\ast }:=\{(x,0),x\in ℝ\}\subset ℂ$. È immediato verificare che ${ℝ}^{\ast }$ è un sottocampo di $ℂ$, ma la cosa interessante è che ${ℝ}^{\ast }$ è isomorfo a $ℝ$, dunque in particolare esiste una funzione $f:ℝ\to {ℝ}^{\ast }$ tale che $f(x)=(x,0)$. Quindi $ℂ$ è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo ${ℝ}^{\ast }$ con $ℝ$ e dunque,

$(x,0)=x,\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

Unità immaginaria

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

$i:=(0,1)$.

Con la definizione che abbiamo dato di $i$, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

$(x,y)=x+iy$

Infatti:

$(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy$

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: $i$ è una radice dell'equazione

$x^2+1=0$.

Infatti:

$i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$.

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di $ℂ$. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in $ℂ$)

Dimostrazione

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

$aa=a^2\ge 0,\mathrm{\forall }c=a\ge 0\in ℂ$.

dunque non esiste in $ℂ$ una radice negativa e questo è falso, perché $i^2=-1<0$.

$◻$

Parte reale e parte immaginaria

Consideriamo un numero complesso $x+iy$. Si definisce

• $x=:\mathrm{\Re }(x+iy)$ parte reale
• $y=:\mathrm{\Im }(x+iy)$ parte immaginaria
• $x-iy=:\overline{x+iy}$ coniugato di $x+iy$

Proposizione (algebra dei coniugati)

Dimostrazione

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
$a+\bar{a}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\mathrm{\Re }(a)$

Valore assoluto di un numero complesso

Definiamo il valore assoluto di $a\in ℂ$

$|a|=\sqrt{a\bar{a}}=\sqrt{(\mathrm{\Re }a{)}^2+(\mathrm{\Im }a{)}^2}=|\bar{a}|\in ℝ$

Tenete presente che $a\bar{a}=(\mathrm{\Re }a{)}^2+(\mathrm{\Im }a{)}^2\in ℝ$ e $(\mathrm{\Re }a{)}^2+(\mathrm{\Im }a{)}^2\ge 0$. Questo ne garantisce l'esistenza.