Analisi matematica I/Numeri reali

Relazione d'ordine

Sia $R$ una relazione. Si dice che $R$ è una relazione d'ordine se è

• riflessiva
• transitiva
• antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme $A$, allora si dice che $A$ è ordinato e si indica con $(A,\le )$.

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

$xRy\iff \mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:x+n=y$

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che $R$ è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di $\le$.

Se $x\le y$ oppure $y\le x$, allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

Insiemi limitati

Sia $(A,\le )$ un insieme ordinato e $A^{\prime }\subseteq A$ un sottoinsieme non vuoto. Allora $a\in A$ si dice maggiorante di $A^{\prime }$ se

$a\ge b,\mathrm{\forall }b\in A^{\prime }$

Analogamente si dice che $a\in A$ è minorante di $A$ se

$a\le b,\mathrm{\forall }b\in A^{\prime }$

Se $a$ è maggiorante (minorante) ed è anche appartenente ad $A^{\prime }$, allora si dice che $a$ è il massimo (minimo) di $A^{\prime }$. Si indicano rispettivamente con

$\max A\min A$

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

Proposizione (unicità di massimo e minimo)

Dimostrazione

Sia $m=\max A$. Supponiamo che esista un altro $m^{\prime }=\max A$. Allora, per la definizione di massimo, si ha

$m,m^{\prime }\in Am\ge a\in A$(*) e

$m^{\prime }\ge a\in A$(**).

Siccome $m^{\prime }$ è un elemento di $A$, per la (*) si ha $m\ge m^{\prime }$. D'altra parte, siccome anche $m\in A$, per la (**) abbiamo $m^{\prime }\ge m\in A$.
Allora altro non può essere che

$m=m^{\prime }$.

$◻$

Estremo superiore e inferiore

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:

$\sup A=\min \{x\ge a,\mathrm{\forall }a\in A\}$
$\inf A=\max \{x\le a,\mathrm{\forall }a\in A\}$

Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

Esempi

1. Sia $A=\{x\in \mathbb{Q}:0\le x<1\}$. Studiamo un po' questo insieme.

$A$ è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di $A$ sono perà tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se $\lambda$ fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che $\lambda \ge x\in A$ pur essende stesso un elemento di $A$ e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale $y\in \mathbb{Q}:x<y<1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Q}$. Dunque un $\lambda$ siffatto non è un maggiorante e dunque $\sup A=1$.

Osserviamo anche che gli elementi di $A$ sono tutti maggiori uguale di 0 ma $0\in A$ e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque $0=\min A$.

Se un insieme ordinato $A$ ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

Completezza di un insieme

Un insieme ordinato $A$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in $A$.

Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)

Dimostrazione

$A$ è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in $𝕀$ l'insieme dei minoranti di $A$

$M=\{m\le a,\mathrm{\forall }a\in A\}$.

Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di

$A$

è maggiorante di

$M$

, dunque

$M$

ha estremo superiore in

$𝕀$

(perché, per ipotesi,

$𝕀$

è completo). Sia

$\lambda =\sup M$

.
Ogni elemento di

$A$

è più grande di ogni elemento di

$M$

ma anche

$a\ge \lambda ,\mathrm{\forall }a\in A$

dato che

$\lambda$

è il più piccolo tra i maggioranti di

$M$

.
Ma allora

$\lambda \in M$

e dunque

$\lambda =\max M$

. Infine, essendo

$\lambda$

il massimo dei minoranti di

$A$

, è per definizione l'estremo inferiore di

$A$

.

$◻$

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