Analisi matematica I/Numeri reali (seconda parte)

I numeri reali

Proprietà di $ℝ$

1. $(ℝ,+,\cdot ,\le )$ è un campo commutativo e totalmente ordinato.
2. $(ℝ,\le )$ è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato $A\subseteq ℝ$, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assoluto

Sia $x\in ℝ$. Si definisce il valore assoluto (o modulo) di $x$ il numero reale denotato con $|x|$ tale che

$|x|=max\{x,-x\}$.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)

Dimostrazione

Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:

• $|x|=0\iff max\{x,-x\}=0$
• $|x|<0\Rightarrow max\{x,-x\}<0$ ed è ovviamente assurdo, perché se $x$ è positivo, il massimo tra $x$ e $-x$ è $x>0$. Se $x$ è negativo, il massimo tra $x<0$ e $-x>0$ è $-x$, che è appunto maggiore di 0.

Riguardo alla disuguaglianza triangolare, abbiamo:

• se uno dei due è nullo (ad esempio $y$ otteniamo

$|x+y|=|x|$

• altrimenti

$|x+y|\le \left|x\right|+\left|y\right|\iff |x+y{|}^2\le (\left|x\right|+\left|y\right|{)}^2\iff |x{|}^2+2xy+|y{|}^2\le |x{|}^2+2|xy|+|y{|}^2$

$◻$

Parte intera

Sia $x\in ℝ$. Si definisce parte intera di $x$ il numero intero, denotato con $[x]$, tale che:

$[x]=max\{a\in \mathbb{Z}|a\le x\}$.

Mantissa

Sia $x\in ℝ$ e $[x]$ parte intera di $x$. Si definisce il mantissa di $x$ il numero reale, denotato con $(x)$, tale che:

$(x)=x-[x]$

Induzione matematica e insiemi induttivi

Consideriamo un insieme $I\subseteq ℝ$. Si dice induttivo se

1. $1\in I$
2. $x\in I\Rightarrow x+1\in I$

Denotiamo con $ℐ$ l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di $ℝ$.

Insieme dei numeri naturali

$\mathbb{N}=\{x\in ℝ:x\in I,\mathrm{\forall }I\in ℐ\}$

In altre parole, $\mathbb{N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi.

Teorema (principio di induzione matematica)

Dimostrazione

Sia $M\subseteq \mathbb{N}$ l'insieme degli $n\in \mathbb{N}$ per cui valgano le condizioni 1 e 2. $M$ è allora un insieme induttivo e sappiamo che $\mathbb{N}$ è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque $\mathbb{N}\subseteq M$. D'altra parte si ha, per ipotesi, che $M\subseteq \mathbb{N}$. Dunque $M=\mathbb{N}$.

$◻$

Importanti considerazioni finali

Lemma

Dimostrazione del Lemma

Infatti, se lo fosse, per la completezza di $ℝ$ esisterebbe un reale $m$ tale che $m=sup\mathbb{N}$. Però, siccome $m$ è il minore di tutti i maggioranti, $m-1$ non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno $n\in \mathbb{N}$ si ha che $m-1<n$ e dunque $m<n+1\in \mathbb{N}$ e abbiamo finito, perché l'ipotesi che $m$ sia un maggiorante è contraddetta.

$◻$

Teorema (proprietà di Archimede)

Dimostrazione

Per assurdo, $nx\le y,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Dunque $n\le \frac{y}{x}$ ed $\mathbb{N}$ sarebbe superiormente limitato. Impossibile.

$◻$

Teorema (densità dei razionali nei reali)

Dimostrazione

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che $x<y$ da cui si evince facilmente che $y-x>0$. Poniamo, per alleggerire le notazioni, $t=y-x$. Poiché $ℝ$ è archimedeo allora esisterà un $n\in \mathbb{N}$ tale che

$nt>1$ e quindi $t>\frac{1}{n}$

. Sia ora

$m=[nx]+1\in \mathbb{Z}$, vale $[nx]\le nx<[nx]+1=m$ da cui $\frac{[nx]}{n}\le x<\frac{m}{n}$

. Osserviamo ora che $y$ può essere riespresso come

$y=x+t>x+\frac{1}{n}\ge \frac{[nx]}{n}+\frac{1}{n}=\frac{m}{n}$

. Deduciamo quindi che

$x<\frac{m}{n}<y$

con $m,n\in \mathbb{Z}$ e di conseguenza $\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$.

$◻$