Analisi matematica I/Successioni

In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.

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Successioni

Una funzione $a:\mathbb{N}\to X$, dove $X$ è un insieme non banale, si dice successione in $X$ e si usa denotarla con

$(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$

o equivalentemente

$a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$.

Osserviamo che il dominio delle successioni non è necessariamente $\mathbb{N}$, è sufficiente prendere un suo sottoinsieme numerabile.

Una successione reale $(a_n{)}_n$

• si dice positiva se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha che $a_n>0$
• si dice non negativa se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha che $a_n\ge 0$
• si dice negativa se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha che $a_n<0$.
• si dice non positiva se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha che $a_n\le 0$

E' bene mettere in evidenza il fatto che esistono successioni che hanno segno variabile, alcuni termini della successione sono positivi mentre altri sono negativi. Ricoprono un ruolo importante le successioni a segno alterno:

• Una successione $(a_n{)}_n$ si dice a segni alterni se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha che $a_n{a}_{n+1}<0$.

Esempi

$a:\mathbb{N}\to {\mathbb{Q}}^{+},n\mapsto \frac{1}{n}$ è una successione ed è del tipo $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{n},\dots$. La successione è positiva

$a:\mathbb{N}\to ℝ,n\mapsto -\sqrt{n}-1$ è una successione ed è del tipo $-1,-2,-\sqrt{2}-1,-\sqrt{3}-1,\dots ,-\sqrt{n}-1,\dots$. Questa successione, a differenza della precedente, è negativa.

$a:\mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}\to ℝ,n\mapsto (-1{)}^{n}n$ è una successione ed è del tipo $-1,2,-3,4,\dots ,(-1{)}^{n}n,\dots$. Questa successione è a segno variabile, in particolare è a segni alterni.

$a:\mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}\to ℝ,n\mapsto \sin (n)$ è una successione ed è del tipo $\sin (1),\sin (2),\sin (3),\sin (4),\dots ,\sin (n),\dots$. Questa successione è a segno variabile.

Successioni monotòne

Una successione reale $(a_n{)}_n$ si dice

• monotona crescente se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{a}_n\le a_{n+1}$
• monotona descrescente se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{a}_n\ge a_{n+1}$
• monotona strettamente crescente se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{a}_n<a_{n+1}$
• monotona strettamente descrescente se $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{a}_n>a_{n+1}$

Attenzione, esistono successioni che non rispettano le condizioni precedenti, hanno cioè un andamento variabile. Per fissare le idee su queste definizioni facciamo alcuni esempi.

Esempi

• $(a_n{)}_n=(n^2{)}_n$ è una successione strettamente crescente, infatti, da $n<n+1$ segue immediatamente che $n^2<(n+1{)}^2$ cioè $a_n<a_{n+1}$ per ogni $n$ naturale.

• $(a_n{)}_n={\left(\frac{n}{n+1}\right)}_n$ è una successione strettamente crescente. Per verificarlo, ci chiediamo per quali numeri naturali $n$ viene verificata la disuguaglianza $a_{n+1}>a_n$.

$a_{n+1}>a_n⟺\frac{n+1}{n+2}>\frac{n}{n+1}⟺(n+1{)}^2>n(n+2)⟺n^2+2n+1>n^2+2n⟺1>0$ ma questa è sempre verificata in $\mathbb{N}$.

Un altro modo per giungere alla stessa conclusione è il seguente:

Il termine n-esimo della successione $a_n=\frac{n}{n+1}$ può essere riscritto come $a_n=1-\frac{1}{n+1}$. Osserviamo ora che $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}n<n+1⟹n+1<n+2⟹\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+2}⟹-\frac{1}{n+1}<-\frac{1}{n+2}⟹1-\frac{1}{n+1}<1-\frac{1}{n+2}$

cioè $a_{n+1}>a_n$ per ogni $n$ naturale

• $(a_n{)}_n=(-n^2{)}_n$ è una successione strettamente decrescente, infatti, da $n<n+1$ segue immediatamente che $n^2<(n+1{)}^2$ pertanto $-n^2>-(n+1{)}^2$ per ogni $n$ naturale pertanto $a_{n+1}<a_n$.

Successioni limitate

Una successione reale $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ è

• limitata superiormente se $\mathrm{\exists }𝑀\in ℝ$ tale che $\mathrm{\forall }𝑛\in \mathbb{N}$ si ha che $a_n\le M$

• limitata inferiormente se $\mathrm{\exists }m\in ℝ$ tale che $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha che $m\le a_n$

• limitata se è limitata superiormente e inferiormente, cioè:

1) se $\mathrm{\exists }m,M\in ℝ$ tali che $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha $m\le a_n\le M$

o equivalentemente

2) se $\mathrm{\exists }A>0$ con $𝐴\in ℝ$ tale che $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ si ha che $|a_n|\le A$.

Mostriamo la completa equivalenza della definizioni 1) e 2).

1) $\Rightarrow$ 2)

Se per ogni $n$ naturale si ha che $m<a_n<M$, con $m,M\in ℝ$, ponendo $A=\max (|m|,|M|)$ si ha che per ogni $n$ naturale $|a_n|<A$ che è la definizione 2).

2) $\Rightarrow$ 1)

Se per ogni $n$ naturale $|a_n|<A$ con $A>0$ allora $-A<a_n<A$. Se si pone $m=-A$ e $M=A$ allora per ogni $n$ si ha che $m<a_n<M$ che è la definizione 1).

Vedremo ora alcuni esempi di successioni limitate:

Esempi

1. La successione $(a_n{)}_n={\left(\frac{1}{n}\right)}_n$ è limitata infatti $0<\frac{1}{n}\le 1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$, le costanti in questo caso sono $m=0,M=1$

2. La successione $(a_n{)}_n=(n+1{)}_n$ è limitata inferiormente ma non superiormente infatti $1\le n+1<+\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, la costante che limita inferiormente la successione è $m=1$.

3. La successione $(a_n{)}_n=(-n+1{)}_n$ è limitata superiormente ma non inferiormente infatti $-\mathrm{\infty }<-n+1\le 1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, la costante che limita superiormente la successione è $M=1$

Successioni illimitate

Una successione reale $(a_n{)}_n$ si dice

• illimitata superiormente se per ogni numero reale $K>0$ esiste $m_K\in \mathbb{N}$, dipendente da $K$ tale che $a_n>K$ per ogni $n>m_K$
• illimitata inferiormente se per ogni numero reale $K<0$ esiste $m_K\in \mathbb{N}$, dipendente da $K$ tale che $a_n<K$ per ogni $n>m_K$.
• illimitata se per ogni numero reale $K>0$ esiste $m_K\in \mathbb{N}$, dipendente da $K$ tale che $|a_n|>K$ per ogni $n>m_K$.

Esempi

1. La successione $(a_n{)}_n={\left(n^2\right)}_n$ è illimitata superiormente infatti fissato $K>0$ esiste un naturale $m_k$ tale che $n^2>K\mathrm{\forall }n>m_k$. Basta prendere $m_k=\left[\sqrt{K}\right]$, dove $[\cdot ]$ indica la funzione parte intera.

Sottosuccessione

Sia ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\subset ℝ$ una successione reale, sia inoltre ${\left(i_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè $i_n<i_{n+1}$ per ogni $n\in \mathbb{N}$, diremo che ${\left(a_{i_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ è una sottosuccessione della successione ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$. In modo informale, possiamo asserire che una sottosuccessione di una successione data è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti. Va da sè che, data una successione, le sottosuccessioni estraibili da essa sono infinite.

Esempi

1. La successione ${\left(\frac{1}{2n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ è una sottosuccessione di ${\left(\frac{1}{n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, in questo caso infatti la successione di indici $(i_n{)}_n=(2n{)}_n$

2. La successione costante $(-1{)}_{n\in \mathbb{N}}$ è una sottosuccessione di ${((-1{)}^n)}_{n\in \mathbb{N}}$, la successione di indici è $(i_n{)}_n=(2n+1{)}_n$

3. La successione costante $(1{)}_{n\in \mathbb{N}}$ è un'altra sottosuccessione di ${((-1{)}^n)}_{n\in \mathbb{N}}$, la successione di indici è $(i_n{)}_n=(2n{)}_n$

Esercizi e test

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.

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